傅里叶光学4

对应第四章

Ch4 菲涅尔衍射与夫琅禾费衍射

4.1 背景

4.1.1 波场强度

• 光电流，入射功率，响应率
  • 量子效率
• 功率密度，特征阻抗
• 强度

4.1.2 直角坐标系的惠更斯-菲涅尔原理

……

4.2 菲涅尔近似

• 近似条件
• taylor——卷积形式
• 结论：除一个相乘因子外，场是孔径右方复场和一个二次相位因子之积的傅里叶变换
• 这就是说，观察者在菲涅尔衍射区/在孔径的近场

4.2.1 正相位还是负相位

……

4.2.2 菲涅尔近似的精度

• 只要高次项的积分值很小即可
• 稳相原理

4.2.3 菲涅尔近似和角谱

• taylor
• 成立条件：小衍射角度（则菲涅尔近似和傍轴近似是等价的）

4.2.4 两个共焦球面的菲涅尔衍射

• 共焦球面
• 一侧球冠观察到的场是另一侧球冠场的傅里叶变换，除了常数因子和标度因子
• 此时瑞利-索末非是失效的，但基尔霍夫的方法成立

4.3 夫琅禾费近似

• 比菲涅尔近似更苛刻，但结果更简单
• 在菲涅尔近似的基础上再加近似条件：$z\gg\frac{k(\xi^2+\mu^2)_{max}}{2}$
  • 满足时，二次相位因子在孔径上近似恒为1，则待观察的场就是孔径场的傅里叶变换，再乘相位因子
  • 此时的观察区就是远场，或称夫琅禾费衍射区
• 天线设计者公式

4.4 夫琅禾费衍射图样的例子

4.4.1 矩形孔径

• 单色平面波垂直入射
• 孔径场分布=透射比函数（方形）
• 根据夫琅禾费衍射做傅里叶变换，得衍射图样是sinc函数（大物经典结果）（当然能量谱是sinc平方）

4.4.2 圆形孔径

• 透射比函数=circ
• 夫琅禾费衍射中的傅里叶变换改为傅里叶-贝塞尔变换
• 得衍射图样为第一类一阶贝塞尔函数，称为爱里图样（还是大物经典，1.22就是这里来的）

4.4.3 薄正弦振幅光栅

• 允许半透明式的透射
• 考虑一个矩形区域内的，透射比按正弦变化的光栅
• ……
• 部分能量被偏转到边旁图样，部分被吸收
• 衍射效率

4.4.4 薄正弦相位光栅

• 允许移相
• 部分能量从主瓣转移到其他地方
• 不会吸收光功率

4.5 计算菲涅尔衍射的例子

4.5.1 方孔径的菲涅尔衍射

• 比较复杂，最后也要数值求解
• 菲涅尔数$N_F=\frac{w^2}{\lambda z}$（2w是方孔的宽）
• 由此说明随着观察平面从远处靠近孔径平面（$N_F$从很小变得很大），对应的衍射现象形式为夫琅禾费衍射（远场）—菲涅尔衍射（近场）—几何光学（衍射图样就是孔径本身的形状）

4.5.2 正弦振幅光栅产生的菲涅尔衍射——塔尔博特像

• 假设光栅无限大
• 用传递函数可得解析解
• 三种特殊情形
  • 塔尔博特像
  • 180°反转的塔尔博特像
  • 塔尔博特子像