傅里叶光学1&2

对傅里叶光学知识的简介。对应《傅里叶光学导论》（古德曼，第三版）第一、二章，以下略。

Ch1 介绍

• 光学和电气系统的联系——可以使用Fourier系统理论（可能意在指波动光学，以同几何光学分别开来）
• 常见共通性质
  • 线性、不变性——适用频域分析
  • 非线性元件——非线性理论
  • 合成（滤波？）
• 此后内容
  • Ch2——（多元）Fourier
  • 衍射
    • Ch3——基尔霍夫、瑞利-索末非、角谱
    • Ch4——近似（菲涅尔、夫琅禾费）
  • Ch5——相干光学
  • Ch6——频谱分析、成像系统的传递函数

Ch2 二维信号与系统的分析

• 线性性质：多激励共同作用的响应=激励单独作用产生的响应之和
• 有空间相干性时——光场振幅用复数；否则用实数

2.1 二维傅里叶分析

2.1.1 定义与存在条件

• 正变换：

$F\{g\}(f_x,f_y)=\iint^{+\infin}_{-\infin}g(x,y)e^{-j2\pi (f_xx+f_yy)}dxdy$

• 逆变换：

$F^{-1}\{G\}=\iint^{+\infin}_{-\infin}G(f_x,f_y)e^{j2\pi (f_xx+f_yy)}df_xdf_y$

• （一个充分）的存在条件：

  • $g$在全平面绝对可积

  • 任意有限矩形域中，$g$只有有限个间断和极值点

  • $g$没有无穷大间断点

更常用的充分条件：“物理上的可能”——Bracewell

• Dirac δ函数：$\delta (t)=\lim_{N\rightarrow \infin}Ne^{-N^2\pi t^2}$（有多种定义），属于是老朋友了…

  

• 二维Dirac δ函数：$\delta (x,y)=\lim_{N\rightarrow \infin}Ne^{-N^2\pi (x^2+y^2)}$

• 广义Fourier变换：若某函数能定义为由可变换函数构成的序列的极限，且可变换函数变换后的序列存在极限，则这个极限就是该函数的广义Fourier变换。

2.1.2 傅里叶变换作为分解式

（对实际含义的解释）

• 二维Fourier变换的基元函数是$e^{j2\pi (f_xx+f_yy)}$

• 其物理含义是沿$\theta = arctan(f_y/f_x)$方向传播的平面波（等相位线与之正交）

• 空间周期$L=1/\sqrt{f_x^2+f_y^2}$是两条零相位线的距离

  

2.1.3 傅里叶变换定理

• 线性
• 相似性（尺度变换）
• 相移定理
• 瑞利定理（即Parseval定理）
• 卷积定理
• 傅里叶积分定理（即对偶原理）

2.1.4 可分离变量的函数

• 二元函数能在某坐标系下写成两个一元函数之积，则称可分离变量
  • 直角坐标系中可分离变量：$g(x,y)=g_x(x)g_y(y)$
  • 极坐标可分离变量：$g(r,\theta)=g_r(r)g_{\theta}(\theta)$
• 直角坐标系下可分离变量函数的Fourier变换是各一维Fourier变换之积
• 极坐标系下可分离变量函数的Fourier变换是汉克尔Hankel变换的无穷加权和

2.1.5 具有圆对称性的函数：傅里叶-贝塞尔变换

• 圆对称性函数是极坐标系中可分离变量函数的特例，即函数值只与半径有关。
• 贝塞尔恒等式
• 傅里叶-贝塞尔变换（=零阶汉克尔变换）

2.1.6 常用变换

• P9
• $circ(r)=1(r<1),0.5(r=1)\space or\space 0(r<1)$
• circ函数的傅里叶-贝塞尔变换为$\frac{J_1(2\pi\rho)}{\rho}$（besinc/jinc），$J_1(\cdot)$是一阶第一类贝塞尔函数

2.2 空间频率和空间频率的局域化

• 考虑这种形式的复函数：$g(x,y)=a(x,y)e^{j\phi(x,y)},a(\cdot)>0$
• 局域空间频率
  • 对单傅里叶分量，局域频率就是该分量频率（整个平面为常数）
  • 和频谱不同，只有$\phi$变化较慢时，局域空间频率才和频谱基本一致

2.3 线性系统

2.3.1 线性性质与叠加积分

• 线性性质
• 叠加积分指脉冲响应（即点扩展函数PSF）

2.3.2 传递函数

• 时不变
• 空间不变（=等晕）：于$(a,b)$引入的脉冲在$(x,y)$点处的响应只依赖x和y方向的距离（即只依赖两个变量$(x-a),(y-b)$）
  • 等晕区：物场分割为许多小区域，每个区域近似等晕；通常关注光轴等晕区即可
• 线性不变系统——传递函数
• 复指数函数是线性不变系统的本征函数

2.4 二维抽样理论

• 带限函数

2.4.1 Whittaker-Shannon抽样定理

• 采样格点为方形
• 滤波器为方形滤波器

2.4.2 空间-带宽积

• 对带限且只在$(x,y)$平面上有限区域显著不为零的函数，若在Whittaker-Shannon定理的设定下做无损采样，则所需有效抽样点数为空间-带宽积