实用抽代3

再次介绍同构、单态射、满态射等概念。需要小心一般范畴上和集合范畴上各个概念的区别（一般范畴上的对象通常是类，没有“元素”）。

对应原书第一章第四节。

Isomorphism

Def. 态射$f\in Hom_C(A,B)$是同构映射当它有一个双边逆$g\in Hom_C(B,A),gf=1_A,fg=1_B$。

在集合范畴上同构映射就是双射。但在一般的范畴上不能通过“集合元素”来定义同构映射。此后的概念依然如此。

Prop. 同构映射的逆是唯一的。因此$f$的逆直接记为$f^{-1}$即可。

Pf. $g_1=g_1 1_B=g_1fg_2=g_2$

Prop.

1. 恒同态射$1_A$总是同构映射，且逆就是自己；
2. 同构映射的逆也是同构映射；
3. $(gf)^{-1}=f^{-1}g^{-1}$

Def. 当范畴中两个对象之间存在同构映射时，则称这两个对象同构（记为$A\cong B$）

Def. 当同构映射的起点和终点是同一个对象时，称之为自同构。对象$A$上所有自同构记为$Aut_C(A)$，他是$A$上自同态集$End_C(A)=Hom_C(A,A)$的子集。

Monomorphism,Epimorphism

定义见第一篇文章。

需要特别注意的是：集合范畴上成立的一些性质在一般范畴上不成立。例如一个态射同时是单态射和满态射，则它也未必是同构映射（这种态射称为双态射bimorphism）。

在集合范畴或在交换范畴上，双态射和同构态射等价（后证）。