现代第二章：状态方程的解

介绍如何解状态方程，以及状态转移矩阵的特点。

输出方程作为代数方程只有从属地位，只要状态方程得解，直接代入即可得到输出的解。因此以下只讨论状态方程的解。

齐次解（自由响应）

齐次解就是零输入时状态方程的解。

Prop. $\dot{x}=Ax,x(t_0)=x_0$ 存在唯一解 $x(t)=e^{(t-t_0)A}x_0$

其中矩阵指数 $e^A=I+A+\frac{1}{2!}A^2+...$

Pf1. 假设解可以写成关于 $t$ 的Taylor级数，则可待定系数法解出各个系数。

Pf2. Laplace变换

$sx-x_0=Ax\rightarrow x=(sI-A)^{-1}x_0$

$x=L^{-1}((sI-A)^{-1})x_0$

注意

$(sI-A)(Is^{-1}+As^{-2}+A^2s^{-3}+...)=I$

这就得到了 $(sI-A)^{-1}$ 的Taylor展开，对其Laplace逆变换立即得证。

渐进稳定性

若系统对任意初值的自由解 $x(t)\rightarrow 0,t\rightarrow +\infin$ ，则称系统渐进稳定。这等价于系统矩阵A的特征值均具有负实部，或特征值都在左半平面。

系统的渐进稳定性反映了系统的“能量耗散”，这是系统状态本身的性质，和输入输出无关。

非齐次解（自由+强迫响应）

Prop. $\dot{x}=Ax+Bu,x(t_0)=x_0$ 的解为：

$x(t)=e^{A(t-t_0)}x_0+\int_{t_0}^t e^{A(t-\tau)}Bu(\tau)d\tau$

Pf1. $e^{-At}(\dot{x}-Ax)=\frac{d}{dt}(e^{-At}x)=e^{-At}Bu$

此式在 $[t_0,t]$ 上积分即证。

Pf2.

$sx-x_0=Ax+Bu$

$x=(sI-A)^{-1}(x_0+Bu)$

反变换后，第一项就是齐次解，第二项就是频域的乘积，因此是时域上的卷积。

低维情形的推荐解法

直接求频域解 $x=(sI-A)^{-1}(x_0+Bu)$
然后不要立即反变换为时域，而应该先乘成一个矩阵，然后逐元素部分分式展开，再逐元素反变换回时域。

状态转移矩阵

$\phi(t)=e^{At}$

含义

表达了任意两个自由运动状态之间的变换关系：

$x(t)=\phi(t-t_0)x(t_0)$

性质

组合性质

矩阵微分方程的解，在时间上可以任意分段求取

$\phi(t_2-t_1)\phi(t_1)=\phi(t_2)$

连续性

$\phi(0)=I$

含义是自由解不会发生状态的跳变（和能量的含义相符）。

非奇异性

$(\phi(t))^{-1}=\phi(-t)$

因此状态转移矩阵总有逆矩阵，也就是（自由响应下）过去的状态总可以由现在的状态求出来。

微分性

$\dot{\phi}=A\phi=\phi A$

注意这里的可交换性！（Taylor一下就知道了）

在已知状态转移矩阵，反求系统矩阵时就非常有用。

$A=\phi^{-1}\dot{\phi}=\dot{\phi}\phi^{-1}$

交换性

$e^{A}e^{B}=e^{A+B}$ iff $AB=BA$

矩阵指数计算

可对角化 $A=T\Lambda T^{-1}$ ，则 $e^{A}=Te^{\Lambda}T^{-1}$

当然，如果维数较低，则还是Laplace变换较好。

算完后的快速检查：令t=0看是否为单位阵