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第二章：控制系统的数学模型

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本系列为课程笔记。此篇介绍了控制系统的数学模型，重点回顾了微分方程和频域代数表示（传递函数）两类方法。

引入

分析/综合

分析：给定一个控制系统，研究其运动的性质和特征

综合：设计一个控制系统，使其运动具有给定的性质和特征

建模

常用数学模型：微分方程、差分方程、代数方程

建模方法：机理建模（要对各环节的物理过程了解）、系统辨识

描述

时域/频域。

由于高阶系统的特征方程很难解，因此时域分析不方便。此时常用的两种方法为降阶或考虑频域分析。

微分方程

常见的情况为n阶齐次线性常微分方程：poly1(ddt)(output)=poly2(ddt)(input)poly_1(\frac{d}{dt})(output)=poly_2(\frac{d}{dt})(input)。这种系统就是线性定常系统（即线性时不变系统LTI）。以下都只讲LTI。

回忆：

完全解=齐次解（通过特征方程求解，有待定系数）+特解（根据激励的形式猜或查表，不包含待定系数），向完全解代入初值即可得到齐次解中待定系数的值。

其中，自由响应（零输入+零状态一部分）即齐次解代表了系统固有频率，强迫响应（零状态的另一部分）即特解反映了激励函数的作用情况

模态：微分方程的特征方程的根λ\lambda对应的分量eλte^{\lambda t}就是一个模态。可以直观得知：系统稳定，当且仅当每个特征根的实部为负。

Laplace变换

注：考试时会提供变换表。

初值定理

ff不含冲击函数及各阶导数，或FF是真分数时有f(0+)=lim⁡s→∞sF(s)f(0^+)=\lim_{s\rightarrow \infin}sF(s)

终值定理

f(∞)f(\infin)存在时有f(∞)=lim⁡s→0sF(s)f(\infin)=\lim_{s\rightarrow 0}sF(s)

微/积分定理

L[df(t)dt]=sF(s)−f(0−)L[\frac{df(t)}{dt}]=sF(s)-f(0^-)

L[∫f(t)dt]=F(s)s+f(0−)sL[\int f(t)dt]=\frac{F(s)}{s}+\frac{f(0^-)}{s}

尺度定理

L[f(t/a)]=aF(as)L[f(t/a)]=aF(as)

时移/平移定理

L[f(t−a)]=e−asF(s)L[f(t-a)]=e^{-as}F(s)

L[e−atf(t)]=F(s+a)L[e^{-at}f(t)]=F(s+a)

传递函数

仅针对线性定常SISO，或只考虑MIMO中的一对输入和输出。只考虑零状态响应（于是前面的微/积分定理变成关于ss的多项式，因此传递函数才和输入无关），同时也是单位冲激响应。

零点

零点指分子多项式根，的作用是调节各模态在输出量中的比重（留数）。

极点

极点指特征方程的根，决定自由运动的模态。

传递系数/根轨迹增益

指将所有ss前的系数都化为1后，传递函数整体约出的一个系数，注意：不是静态增益。

框图（以及化简）

多练！期中难度不高于课件上的例子。

  • 串联：相乘
  • 并联：相加
  • 负反馈：设前向通道、反馈通道的传递函数为G,HG,H，则开环传递函数GopenG_{open}=前向通道X反馈通道=GHGH，因此总传递函数是G1+GH=Gforward1+Gopen\frac{G}{1+GH}=\frac{G_{forward}}{1+G_{open}}
  • 正反馈：相比负反馈，分母变减号
  • 比较点前移，后移，合并，交换
  • 引出点前移，后移，交换

扰动输入：分别考虑扰动对输出（此时输入为0）、输入对输出的影响（此时扰动为0），总的输出就是二者之和

如果要去掉扰动对输出的影响，则可以适当设计，令扰动对输出的传递函数为0。

基本单元

  • 比例环节
  • 惯性/惰性环节（时间常数为非负）
    • 阶跃响应为指数曲线
    • 针对阶跃响应，只有用快速性（即时间常数）来衡量好坏
  • 二阶环节（时间常数、阻力系数非负）
    • 根据特征根的情况分为无，欠，临界，过阻尼
  • 积分
  • 微分：物理无法单独实现
  • 延时
  • 非线性单元：可以在局部线性化

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