实用抽代2

介绍范畴相关内容，包含原书第一章第3节内容。增补了关于NBG公理体系的内容。部分内容和名词翻译参考了https://zhuanlan.zhihu.com/p/364284965系列专栏。

abstract nonsense: 抽象废话，特指范畴论的语言。因为它只关注“结构”，而非关注“含义”，即具体的集合元素。

NBG Set Theory

von Neumann–Bernays–Gödel集合论公理体系是ZFC公理体系的一个保守拓展（conservative extension）。NBG体系的一个特点是可以区分类（class）和集合（set）。类的概念比集合更为广泛，例如可以定义“所有集合所组成的类”。（根据正则公理，ZFC公理系统中不存在“所有集合所组成的集合”）。

事实上，保守拓展就是说：NBG可以谈论比集合更宽广的概念“类”，且关于集合的陈述在NBG中可证明当且仅当其在ZFC中可证明。

NBG的原始对象是类、一个表示“是集合”的谓词$R$和成员关系$\in$。

$R$的定义是：类$x$是集合（即$R(x)$）当且仅当存在一个类$X$，使得$x\in X$。不是集合的类称为真类（proper class）

（这种定义下）$\in$可以用在类与类之间。

注：这里有两种定义途径，以上显示的是Godel的叙述方法。另一种Bernays叙述方法则$\in$左侧只能是集合，但可以通过表示（representation）概念“圆”回去。

Category

以下注意区别用来表示范畴的正体$\mathrm{C}$和表示对象等的斜体$C$

一个范畴$\mathrm{C}$由以下两份东西构成：

1. 一个包含了$\mathrm{C}$所有对象的类（记为$Obj(\mathrm{C})$）

2. $\mathrm{C}$中任意两个对象$A,B$，都存在一个态射（morphism）的类$Hom_C(A,B)$满足以下性质（结合律、幺元律）：

   • 对$\mathrm{C}$中的任意对象$A$，都至少存在一个“恒同”（identity）态射$1_A\in Hom_C(A,A)$

   • 态射可以“复合”（composition），即两个如下形式的态射$f\in Hom_\mathrm{C}(A,B),g\in Hom_\mathrm{C}(B,C)$可以决定一个新态射$gf\in Hom_\mathrm{C}(A,C)$。等价地说，即任意三个对象$A,B,C$，都存在一个函数：

     $Hom_\mathrm{C}(A,B)\times Hom_\mathrm{C}(B,C)\rightarrow Hom_\mathrm{C}(A,C)$

     $(f,g)\mapsto gf$

   • "复合"可结合。$(fg)h=f(gh)$

   • "恒同"映射的特点体现在”复合“中。即$f\in Hom_\mathrm{C}(A,B)$，则$f1_A=1_Bf=f$

   • 除非$A=C,B=D$,否则$Hom_\mathrm{C}(A,B)\cap Hom_\mathrm{C}(C,D)=\empty$

   可以形象化地把$Hom$想成函数集。

   另外，在范畴$\mathrm{C}$已经明确后，可以把$f\in Hom_\mathrm{C}(A,B)$简写为$f:A\rightarrow B$。由此即可画图（diagram）。

   示例：集合和集合上定义的函数可以构成一个范畴。这个重要的范畴没有统一的记法，通常写成Set的某种花体（以下写成$\mathbb{SET}$）。

   示例2：设$S$为集合，$\sim$是$S$上满足自反性和传递性的一个关系，则可以定义：

   • ”对象“为$S$的元素；

   • ”态射“集$Hom(a,b)=(a,b)$若$a\sim b$，否则$Hom(a,b)=\empty$

   • 态射的合成就定义为$\sim$的传递性：$(a,b)(b,c)=(a,c)$。

   用这对”对象“和”态射“也可以构造出一个范畴。

   特别地，$\sim$可以取为$=$，$\le$，$\sub$等等。这种范畴总是可交换的（概念见下，这是因为这种范畴的态射只和”起点“和”终点“有关），在代数几何之类的地方很有用。

endomorphism

自同态即形同$Hom_\mathrm{C}(A,A)$（记为$End_\mathrm{C}(A)$）的态射集中的态射。

根据对范畴的定义有$1_A\in End_\mathrm{C}(A)$。同时，$f,g\in End_\mathrm{C}(A)$则$fg\in End_\mathrm{C}(A)$。

commutative diagram

若图上任意两个对象间的任意路径的合成都相等，则这个图是可交换的。

discrete

当所有态射都是恒同态射时，称该范畴离散。

上述”示例2“中$\sim$取”$=$“时就可以得到离散范畴。

slice category

切片范畴特指一种由范畴构造范畴的方法。

设$\mathrm{C}$是范畴，$A\in Obj(\mathrm{C})$，则将新范畴$\mathrm{C}_A$定义如下：

有的地方将切片范畴$\mathrm{C}_A$记成$\mathrm{C}/A$，而将共切片范畴$\mathrm{C}^A$（见后）记成$A/\mathrm{C}$。

1. $Obj(\mathrm{C}_A)$就是所有（从$Obj(\mathrm{C})$中任意元素）指向$A$的态射的集合。

2. 对任意$f_1,f_2\in Obj(\mathrm{C}_A)$，若存在$\mathrm{C}$的一个态射$\sigma$使得$f_1=f_2\sigma$，则称含有$\sigma,f_1,f_2$的子图是$\mathrm{C}_A$中的$f_1\rightarrow f_2$的态射。参考下图（图源原书pp23）：

   注意：这里的要求不只是态射$\sigma$存在，还要求$f_1=f_2\sigma$，也就是说下图是可交换图时，这个子图才是$\mathrm{C}_A$的一个态射！

   ​

3. $\mathrm{C}_A$态射的复合，就是$\mathrm{C}$中对应态射的复合所得到的子图。参考下图（pp23）：

   

可以验证，这样定义的切片范畴$\mathrm{C}_A$满足范畴的定义。事实上，切片范畴是逗号范畴（comma category，谁起的鬼名字……）（逗号范畴还没定义）的一种。

当然，这个概念还可以进行拓展，例如我们可以定义两个元素构造出的切片范畴。设$A,B\in Obj(\mathrm{C})$，则切片范畴$\mathrm{C}_{A,B}$可以定义为：

1. $Obj(\mathrm{C}_{A,B})$的元素就是（从$Obj(\mathrm{C})$的同一元素出发）分别到达$A$和$B$的一对映射$(f,g)$所组成的图，见下（pp25）：

   

2. $(f_1,g_1)\rightarrow (f_2,g_2)$的态射的定义：若存在函数$\sigma$同时满足$f_1=f_2\sigma$和$g_1=g_2\sigma$，则称$\sigma,f_1,g_1,f_2,g_2$组成的可交换子图是态射，即下图应当是可交换子图（pp25）：

   

当然，我们还可以拓展到两个同终点的态射构造出的切片范畴。

设我们在范畴$\mathrm{C}$选定两个这样的态射$\alpha:A\rightarrow C$，$\beta:B\rightarrow C$。则新范畴$\mathrm{C}_{\alpha,\beta}$定义为：

1. $Obj(\mathrm{C}_{\alpha,\beta})$的元素是（从$Obj(\mathrm{C})$的同一元素出发）分别到达$A$和$B$的一对映射$(f,g)$和$\alpha,\beta$构成的子图，且是可交换子图（即$\alpha f=\beta g$），见下（pp25）：

   

2. 态射是和$\sigma$相关联的如下图，且该图可交换（pp26）：

   

coslice category

共切片范畴可以看成切片范畴的一种”对偶“。切片范畴定义里面所有箭头反过来，就是共切片范畴的定义。具体而言，就是说：

1. $Obj(\mathrm{C}^A)$就是所有从$A$出发的态射（指向$Obj(\mathrm{C})$中任意元素）的集合。

2. 对任意$f_1,f_2\in Obj(\mathrm{C}^A)$，若存在$\mathrm{C}$的一个态射$\sigma$使得$\sigma f_1=f_2$，则称含有$\sigma,f_1,f_2$的可交换子图是$\mathrm{C}^A$中的$f_1\rightarrow f_2$的态射。参见下图：

   

   仿照前面的说法，我们同样可以定义两个元素构造的共切片范畴，两个同终点的态射构造出的共切片范畴等。

pointed set （category）

令$\mathrm{C}=\mathbb{SET}$，$A=\{*\}$（即某个固定的单元素集），则有点集范畴（记为$\mathbb{SET}^*$）定义为共切片范畴$A/\mathrm{C}=\{*\}/\mathbb{SET}$。

有点集范畴的对象就是函数$f:\{*\}\rightarrow S$（注意$\mathbb{SET}$的态射就是集合上定义的函数），其中$S$是集合。因此$f(*)\in S$，即有点集范畴的每个对象可以从每个集合中选择一个元素。因此，对象$f:\{*\}\rightarrow S$也可以用一个二元组等价地表示为$(S,s)$，其中$S$是$f$的值域，$s=f(*)\in S$。

因此，有点集范畴的态射$(S,s)\rightarrow (T,t)$（可以等价地）指某个集合上的函数$\sigma :S\rightarrow T$，且$\sigma (s)=t$。

有点集范畴的对象集$Obj(\{*\}/\mathbb{SET})$中的各个对象（形同$(S,s)$）就是有点集（pointed set，或based set，rooted set）。

有点集和普通集合的区别在于，每个有点集都存在一个被选出的、特殊的、可辨的特殊元。例如，这个特殊元在群论中就是指单位元。

subcategory

$\mathrm{C}$的子范畴$\mathrm{C}'$定义为：

1. $Obj(\mathrm{C}')$是$Obj(\mathrm{C})$的子类。
2. $\forall A,B\in Obj(\mathrm{C}')$，$Hom_{\mathrm{C}'}(A,B)$是$Hom_{\mathrm{C}}(A,B)$的子类。
3. $\mathrm{C}'$恒同态射、态射的复合和$\mathrm{C}$相同。

子范畴是满的（full），若上述第二条改为$Hom_{\mathrm{C}'}(A,B)=Hom_{\mathrm{C}}(A,B)$。

和图论的子图，导出子图可以类比。

subobject classifier

有时可以像讨论集合的子集一样讨论对象（未必是集合）的子对象（subobject）。对范畴$\mathrm{C}$和其中一个对象$A$而言，$A$的子对象和态射$A\rightarrow \Omega$之间一一对应，其中$\Omega$是$\mathrm{C}$的一个固定的对象。这个$\Omega$就是子对象分类器。

对范畴$\mathbb{SET}$而言，$\Omega = \{0,1\}$就是一个子对象分类器，此时子对象就是子集。