实用点集拓扑4

接前文，介绍拓扑空间的连通性。对应尤书第二章的最后一部分。

连通（connected）

注意：连通和道路联通（弧连通）不等价。

示例：$A=\{(x,sin\frac{1}{x})|x\in(0,1)\},B=\{(0,y)|y\in[0,1]\}$，则$A\cup B$是连通的，但不道路连通。

对某个拓扑空间而言，以下几种说法相互等价：

1. 拓扑空间是连通的；
2. 拓扑空间不能分解为两个非空不相交开集的并；
3. 拓扑空间不能分解为两个非空不相交闭集的并；（开集的余集是闭集）
4. 拓扑空间没有既开又闭的非空真子集；（如果能分解，则两个集合都既开又闭）
5. 拓扑空间既开又闭的子集只有全集和空集。

Prop. 连通空间在连续映射下的像也联通。

由此即可得到一般的中值定理——Bolzano中值定理：对定义在连通空间$X$上的连续函数$f:X\rightarrow \mathbb{R}$，若$a,b\in X,f(a)<f(b)$，则$\forall y\in[f(a),f(b)],\exist x\in Xs.t.f(x)=y$

Prop. 若拓扑空间有一个连通的稠密子集，则该空间本身也连通。

前面的示例中，$A\sub A\cup B$就是一个连通的稠密子集（由于$A$可以任意逼近y轴，容易验证$B$即y轴上的点的任意邻域中都有$A$的元素），因此$A\cup B$ 是连通的。

Prop. 若拓扑空间有一个连通覆盖，且有一个连通子集和该覆盖中每个成员都相交，则此拓扑空间连通。

用这个定理和$E^1$连通的事实，可以证明$E^n$都是连通的。

于是，由于$S^n$（n维球面）任意扣去一个点后和$E^n$同胚，于是是连通的；这个扣去一点的球面的闭包就是原来的球面，因此$S^n$都是连通的。

Prop. 连通性是可乘的。

区间

$A\sub E^1$是区间，当$a,b\in A,a<b\rightarrow \{x\in E^1 |a\le x \le b\}\sub A$（即$A$是凸的）。

Prop. $E^1$的子集中，有且仅有区间是连通的。

Cor. 连通空间上定义的连续函数的像是区间。

连通分支（connected components）

拓扑空间的一个子集称为连通分支，当这个子集是连通的，且不是拓扑空间其他连通子集的真子集。换言之，是极大的连通子集。

Prop. 每个非空连通子集都包含在某个唯一的连通分支中。

Cor. 连通分支构成拓扑空间的覆盖，且两两不相交。

Prop. 连通分支必定是闭集。（某子集连通则其闭包连通，因此只有闭包才能是极大的连通子集。）

局部连通

拓扑空间中任意点的连通邻域构成邻域基，则该空间局部连通。

注意：连通空间未必局部连通。

Prop. 局部连通空间的连通分支是开集。

道路连通（弧连通,arcwise-connected）

道路

从单位闭区间$[0,1]$到拓扑空间的一个连续映射称为道路。

道路连通

拓扑空间道路连通，当任意两点间在拓扑空间内都有道路。

可以证明（或者几何直观也能感受到）开头的示例并不道路连通。

Prop. 道路连通->连通

Prop. 道路连通的连续映像也是道路连通的。

Prop. 道路连通可乘。

道路连通分支

Prop. “可用拓扑空间上的道路连通”是拓扑空间内两点间的等价关系。

在上述等价关系下得到的等价类就是道路连通分支。

Prop. 道路连通分支也是极大道路连通子集。每个连通分支都是若干道路连通分支的并集。

局部道路连通

拓扑空间中任意点的道路连通邻域构成邻域基，则该空间局部道路连通。

注意：道路连通空间未必局部道路连通。

Prop. 局部道路连通空间的道路分支就是连通分支，既开又闭；局部道路连通空间连通时，他一定道路连通。（注：是一个弱化的定理）

简单连通（simply connected）

同伦（homotopic）

同伦就是（定义域和值域相同的）连续映射之间的连续“变形”。

形式化的定义如下：对拓扑空间$X,Y$之间的连续映射$f:X\rightarrow Y,g:X\rightarrow Y$，若存在连续映射$H:X\times [0,1]\rightarrow Y$，使得$\forall x \in X,H(x,0)=f(x),H(x,1)=g(x)$，则称$H$是连接$f$和$g$的同伦，或者说$f$与$g$同伦。

注意区别同伦和同胚的关系。同伦只要求连续变化，不要求双射，因此同伦的东西维数完全可以不同。

简单连通

若拓扑空间是道路连通的，且其上的任意两条同始同终的道路都同伦，则称拓扑空间是简单连通的。例如：圆盘是简单连通的，但圆环不是。