实用点集拓扑3

继续介绍紧致性。对应尤书第二章的一部分。

列紧性（Sequentially Compact）

这是分析学在$\mathbb{R}$上的定理：有界闭区间上每个序列都有收敛的子序列。

这个定理在拓扑空间的自然推广就是所谓的列紧性：拓扑空间称为列紧的，当其每个序列都有收敛的子序列。

因此，和分析中对应地有：定义在列紧拓扑空间的连续函数有界，并达到最大、最小值。

紧致性（Compact）

注意：“紧致性”和“列紧性”不是一个东西！（只不过在度量空间中二者等价）

覆盖、子覆盖

若$X$的一个子集族$\mathscr{U}\sub 2^{X}$满足$\bigcup_{\forall U\in\mathscr{U}} U=X$，则称$\mathscr{U}$是$X$的一个覆盖。

若$\mathscr{U}$的某个子集$\mathscr{U}'$也是$X$的覆盖，则称$\mathscr{U}'$是$\mathscr{U}$的一个子覆盖。

紧致性

拓扑空间称为紧致的，若其每个开覆盖都有有限的子覆盖。

注意：并不是说“存在有限的开覆盖”。因此证明不紧致时只用构造一个不存在有限子覆盖的开覆盖即可。

紧致性本质上是个有限性条件，是把性质从局部往整体推导的方法。例如“有界闭区间的连续函数是否一定有上界”这个问题，给定某个函数$f$，我们至少知道对每个点$x$，都存在它的一个邻域，使得邻域中函数值$f(x')<f(x)+1,x\in (x-\delta,x+\delta)$（这个”1“是随意取的，当然也可以换成任意有限值，不影响结论）。对每个点都取这样一个邻域，这一组邻域就是定义域的一个无穷开覆盖，因此无穷个$f(x)+1$的**”局部上界“**未必有一个最大值，函数未必有上界。但如果注意到$\mathbb{R}$上的紧致性，则可以找到上述无穷开覆盖的一个有限子覆盖，因此"局部上界"就变成了有限个，因此上界必然存在。

再例如”日取其半，万世不竭“问题，如果我天天取出某根棍棒的非零长的一部分，则我一定能在有限时间内取完么？——未必，例如若每天取得的长度按$\frac{1}{2}$指数衰减，则必然有限时间取不完。这可以解释[0,1)的不紧致：存在开覆盖${[0,1-2^{-n}]}$没有有限子覆盖。

如果有”紧致性“作为有限性的保证，则我们就一定能在有限时间取完。例如我们要求开覆盖必须把1这个端点给包含进去，则一定能有限地取完，因为可以证明[0,1]闭集合是紧致的。

——https://www.zhihu.com/question/31734712

Prop. 紧致空间的无穷子集必有聚点（Bolzano-Weierstrass性质）。

δ-网

度量空间的子集$A$称为$X$的一个δ-网（δ>0），当$A$各点的δ球形邻域之并就是$X$。（形式化地写为$\bigcup_{a\in A}B(a,\delta)=X$）

这个概念有利于证明度量空间中列紧和紧致的等价性。

Lemma 紧致的C1空间是列紧的。

注：度量空间总是满足C1的

Lemma. 任意δ>0，列紧度量空间总存在有限的δ-网。

Cor. 上一引理说明了列紧度量空间总是有界的。

勒贝格（Lebesgue）数

首先我们对列紧度量空间$X$定义一个函数。

设$\mathscr{U}$是$X$的一个开覆盖且$X\notin \mathscr{U}$（这是为了防止$\exist U\in \mathscr{U},U^C=\empty$），则定义$\varphi_{\mathscr{U}}(x)=sup\{d(x,U^C)|U\in\mathscr{U}\}$。

Lemma 这个函数是有界的，且最小值非0。

简证：由列紧度量空间的有界性和度量的非负性，则该函数有界性显然。

由于$\mathscr{U}$是开覆盖，则$\exist open\space U,s.t.x\in U$，因此$\varphi_{\mathscr{U}}(x)\ge d(x,U^C)>0$。

Lemma 这个函数是连续的。（证略）

把$\varphi_\mathscr{U}$的最小值称为关于$\mathscr{U}$的勒贝格数$L(\mathscr{U})$。由列紧性可以得到函数的有界性，因此类被个数总是存在。由上面的引理可知勒贝格数>0。

Lemma 当$0<\delta<L(\mathscr{U})$时，$\forall x\in X$，$B(x,\delta)$必然被$\mathscr{U}$的某个开集包含。

Lemma 列紧度量空间是紧致的。

简证：当$X\notin \mathscr{U}$，则取正数$\delta<L(\mathscr{U})$，则根据前面的引理，存在有限的δ-网，且其每一个成员都会被$\mathscr{U}$的某个开集包含。把这些包含δ-网成员的开集组成一个集合就是一个有限子覆盖。当$X\in\mathscr{U}$，只用先考虑$\mathscr{U}-\{X\}$的一个有限子覆盖，然后再把$X$加进这个子覆盖即可（还是有限的）。

综合以上得到：

Prop. 列紧性和紧致性在度量空间中等价。

紧致子集

如果拓扑空间的一个子拓扑空间（诱导空间）是紧致的，则该子拓扑空间的基集是原拓扑空间基集的紧致子集。

$A$在$X$中的开覆盖

若$X$的一个开集族能覆盖$A\sub X$（由于是$X$的开集族，则允许有超出$A$的部分），则称该开集族为**$A$在$X$中的开覆盖**。

注意和"A的开覆盖"区别。

Prop. $A$是$X$的紧致子集等价于$A$在$X$的任意开覆盖都有有限子覆盖。

Prop. 紧致空间的闭子集紧致。

Prop. 紧致空间在连续映射下的像也紧致（因此”紧致“是一个拓扑意义下不变的性质）。

Cor. 紧致空间上的连续函数有界，并达到最大值和最小值。

简证：连续函数的像也紧致，则像就是$E^1$（一维欧氏空间）的紧致空间——有界闭集。

Hausdorff空间的紧致子集

Prop. $A$是Hausdorff空间的紧致子集，$x\notin A$，则$x$与$A$有不相交邻域。

Cor. Hausdorff空间的紧致子集是闭集。

Cor. Hausdorff空间的不相交紧致子集有不相交邻域。

Cor. 紧致Hausdorff空间满足T3,T4。

积空间的紧致性

Prop. 紧致性没有遗传性，但有可乘性。（这对无穷积空间也成立，称为吉洪诺夫定理）

注：吉洪诺夫定理依赖于选择公理。

局部紧致

拓扑空间称为局部紧致的，若每个点都有紧致的邻域。

显然，欧氏空间不是紧致空间，但是是局部紧致的。