分析基础速览

记录一下个人已经遗忘的分析基础概念。主要涵盖选择公理、拓扑空间、度量空间和勒贝格积分等。

Set Theory

quotient set

$R$是定义在$X$上的等价关系，则对$x\in X$，$\dot{x}={y\in X|xRy}$是$x$关于$R$的等价类。

商集$X/R\sub P(X)=2^X$就是所有关于$R$的等价类。

extension

设存在映射$g:A\rightarrow Y$，且$A\sub X$，则$f:X\rightarrow Y$是$g$的延拓，当$f|_A\equiv g$。

indexed family

对非空集合$I,X$，由$I$进行索引的索引族指映射$f:I\rightarrow X$。若将$f(i)$记为$x_i$，则索引组可以记为$(x_i)_{i\in I}$。

$(x_i)_{i\in I}$的子索引族$(x_i)_{i\in J}$是指一个映射$g:J\rightarrow X,J\sub I,((x_i)_{i\in I})|_J\equiv g$。

示例：

1. $I=\{1,...,n\}$时，称对应的索引族为n元组（n-tuple）
2. $I=\mathbb{N}$时，称对应的索引族为序列（sequence）。此时的子索引组又称为子序列（subsequence）

disjoint union

无交并是指在求并集前施加某种操作，使得两个集合变得没有交集，随后再对操作后的集合求并。对定义在某个集合$X$幂集$P(X)$的索引族$(A_i)_{i\in I}$而言，对整个索引族的无交并定义为：

$\sqcup_{i\in I}A_i=\cup_{i\in I} \{(x,i)|x\in A_i\}=(\cup_{i\in I}A_i)\times I\sub X\times I$

可见，此时无交并通过先把集合元素和索引配对，使得各个参与并运算的集合没有交集。

例：$I=\{0,1\},A_0=\{5,6,7\},A_1=\{5,6\}$，则

$\sqcup_{i\in I}A_i$

$=\{(5,0),(6,0),(7,0)\}\cup \{(5,1),(6,1)\}$

$=\{(5,0),(6,0),(7,0),(5,1),(6,1)\}$

choice function

对定义在某个集合$X$幂集$P(X)$的索引族$(A_i)_{i\in I}$，选择函数指映射$f:I\rightarrow X$且$f(i)\in A_i,\forall i$。也就是说，选择函数能从幂集索引族的每一项选择出一个元素。

所有选择函数的集合称为幂集索引族的积$\prod_{i\in I}A_i$。事实上完全可以将其理解为笛卡尔连积，连积的每个元组都从每个$A_i\sub X$中抽出一个元素，当然就对应了一个选择函数。

axiom of choice

选择公理是说，当$I\neq \empty,A_i\neq \empty(\forall i\in I)$，则选择函数一定存在。

可以证明，选择公理和ZF公理体系相互独立。

然而选择公理通常以其等价定理出现，以下的佐恩引理就是一例。

Zorn’s lemma

非空偏序集的全序子集必有上界，因此非空偏序集至少有一个最大值。

注意：最大值只用比所有可比的“大”即可。上界则必须比所有元素都“大”

Topology

主要包含连续性、紧致性、连通性等（参考点集拓扑相关blog）。

强调$\mathbb{R}^n$的拓扑特点：某点的任意开球总是既包含某集合内的点，又包含其外的点，则称该点为该集合的边界点。开集等价于不包含任何边界点，闭集等价于包含全部边界点。

Metric Space

diameter

度量空间的一个子集的直径，是指其内两点距离的上确界。

complete

柯西列指$\forall \epsilon >0,\exist N(\epsilon), s.t.\forall i,j\ge N(\epsilon),|x_i-x_j|\le \epsilon$。

度量空间的完备性指是否有任意柯西列收敛。

注意：柯西列显然只能在度量空间中定义。

Prop. 度量空间的完备子集都是闭集

Prop. 完备度量空间的子集是闭集等价于子集完备

Prop. $\mathbb{R}^n,\mathbb{C}^n$在使用Lp距离时都完备。

unique continuous extension

若$X\sub \bar{X}$在度量空间$\bar{X}$中稠密，$Y$是完备度量空间，$f:X\rightarrow Y$是一致连续的映射，则存在唯一的一个连续延拓$\bar{f}:\bar{X}\rightarrow Y$。（事实上，这个延拓也是一致连续的。）

completion of metric space

对任何度量空间，都存在保距映射将其映射为某个完备度量空间的稠密子集。这个完备度量空间就是度量空间的补全。

compactness of metric space

Prop. 度量空间的紧致子集一定是有界闭集。（对使用Lp距离的$\mathbb{R}^n,\mathbb{C}^n$而言是充要条件）

Prop. 从紧致度量空间映射到度量空间的连续映射一定是一致连续的。

some facts about $\mathbb{R}$ and $\mathbb{C}$

1. 二者都完备。

2. 二者都满足Bolzano-Weierstrass性质，即有界数列有收敛子列。

   可以和前面点集拓扑中的Bolzano-Weierstrass性质对照起来看，有界数列可以用$\mathbb{R}$上的一个紧致（或列紧）子集——闭区间包含（闭区间的紧致性很容易证明），于是聚点存在。

Lebesgue Measure & Integral

σ-algebra

设$X$为任意集合，则其σ-代数$\mathscr{A}\sub2^X$指$X$满足以下条件的子集所组成的集合：

1. $X\in \mathscr{A}$（全集在σ-代数）
2. $A\in\mathscr{A}\rightarrow A^C\in\mathscr{A}$（子集在则补集也在）
3. $all\space A_i\in\mathscr{A}\rightarrow \bigcup_i A_i\in\mathscr{A}$（对任意并（有限/可列无限）封闭）

measure

给定集合$X$及其上的σ-代数$\mathscr{A}$，则测度是函数$\mu :\mathscr{A}\rightarrow [0,\infin]$，且该函数满足以下条件：

1. $\mu (\empty)=0$（空集测度为0）
2. $\mu (\bigcup_i A_i)=\sum_i \mu(A_i),A_i\cap A_j=\empty(\forall i,j)$（σ-加法法则，“可列可加性”）

三元组$(X,\mathscr{A},\mu)$称为测度空间。在$\mathscr{A}$中的元素就称为可测的。

若允许测度函数的值域为$[-\infin,+\infin]=\mathbb{R}\cup\{-\infin,+\infin\}$，则称为**（扩展的）有符号测度（(expanded) signed measure）**。

若$\mu(X)<\infin$，则称测度为有限测度。若$X$可以表示为可数个测度值有限的子集的并，则称测度为σ-有限测度（σ-finite measure）。”σ-有限测度“要弱于”有限测度“，例如，下文中将定义的Lebesgue测度在实数上显然不是有限测度，但容易证明是σ-有限的测度。

Borel σ-algebra

$\mathbb{R}^n$上的Borel σ-代数（以下省略σ和$\mathbb{R}^n$）指包含了$\mathbb{R}^n$中所有开子集的最小σ-代数。记为$\mathscr{B}(\mathbb{R}^n)$。其中的元素都是Borel可测的。（注意，由于补集也总是在σ-代数里，因此Borel-代数不止包含开集！）

根据定义可知，为Borel-代数定义测度，只需要先在$\mathbb{R}^n$的一组拓扑基上定义测度（即先给开集定义测度，合理性参考：Lindelöf’s lemma），然后再考虑如何拓展到σ-代数的所有集合上。

Prop. 所有开区间构成$\mathbb{R}$的一个拓扑基。

Prop. 每个空间拓扑基的任意组合的笛卡尔积的集合可以构成积拓扑的拓扑基。

因此，只要对所有的“开方块”$R=(a_1,b_1)\times...\times (a_n,b_n),b_i>a_i$定义好测度值，然后通过（测度）最小的开覆盖的方法把这个测度拓展到非开的集合上即可。

定义$f(R)=\prod_i (b_i-a_i)$，则Borel-代数上的测度定义为：

$\mu(A)=inf\{\sum_if(R_i)|A\sub\bigcup_kR_k\}$

则$(\mathbb{R}^n,\mathscr{B}(\mathbb{R}^n),\mu)$称为Borel测度空间。

注意：不需要各个“开方块”无交，最终下确界不会受到影响。

completion of measure space

对于某个测度空间而言，把这个测度空间的各个零测集的全部子集加入这个测度空间的σ-代数中，并规定这些子集的测度也是0，这样就得到了一个新的测度空间，称为原空间的补全。

Lebesgue measure

Lebesgue测度空间定义为$\mathbb{R}^n$上Borel测度空间的补全。其对应的σ-代数称为Lebesgue σ-代数，记为$\mathscr{L}(\mathbb{R}^n)$。

也可以做如下的等价定义：对于Borel测度空间$(\mathbb{R}^n,\mathscr{B}(\mathbb{R}^n),\mu)$而言，

称集合$E\sub\mathbb{R}^n$ Lebesgue可测，当他满足Carathéodory判据：

$\mu(A)=\mu(A\cap E)+\mu(A\cap E^C),\forall A\sub \mathbb{R}^n$

可以验证，所有Lebesgue可测集组成σ-代数，这就是Lebesgue σ-代数。测度（记为$dx$）可以直接挪用Borel测度空间的测度定义，只不过把定义域扩大到Lebesgue代数上。

二者等价性的证明可以参考：https://math.stackexchange.com/questions/3470800/proving-the-lebesgue-measure-space-completes-the-borel-measure-space

Prop. $|\mathscr{B}(\mathbb{R}^n)|=\aleph_1<|\mathscr{L}(\mathbb{R}^n)|=\aleph_2$

Prop. $\mathbb{R}^n$上所有开集、闭集、开/闭集的可数交/并均Lebesgue可测。

Prop. Lebesgue零测集的子集均Lebesgue可测，且也均为Lebesgue零测集。

Prop. Lebesgue测度具有平移不变性。

设存在两个测度空间$(X,\mathscr{A},\mu),(Y,\mathscr{B},\nu)$，则定义$\mathscr{A}\otimes\mathscr{B}$为包含$\mathscr{A}\times \mathscr{B}$所有元素的最小σ-代数。于是，积测度（product measure）定义为$\mu\otimes \nu:\mathscr{A}\otimes\mathscr{B}\rightarrow [0,+\infin]$，且

$(\mu\otimes\nu)(A\times B)=\mu(A)\nu(B),\forall A\in\mathscr{A},B\in\mathscr{B}$

使用Lebesgue测度的欧氏空间的积测度也是（高维欧氏空间的）Lebesgue测度，且维度当然就是被积空间维数之和。

measurable function

定义在测度空间之间的函数$f$是可测函数（其实是映射，下略），当值空间任意可测集的原像在定义域中也可测。

把“可测”换成“开”，则这和连续映射的定义完全一致。

特别地：

1. 当定义空间和值空间都用Borel测度时，则称$f$为Borel可测函数。
2. 当定义空间用Lebesgue测度，值空间用Borel测度，则称$f$为**（Lebesgue）可测函数**。

当只限于实变函数时，可以等价地定义为：当$\forall a,f^{-1}([-\infin,a))$Borel/Lebesgue可测时，则$f$是Borel/Lebesgue可测函数。

为什么不把Lebesgue函数定义为定义空间和值空间都用Lebesgue测度的可测函数？因为Lebesgue可测集的范围太宽，使得这种定义下存在连续函数不可测。

反例参见https://math.stackexchange.com/questions/1516137/the-preimage-of-a-lebesgue-measurable-set-under-a-measurable-function-need-not-b/1516205#1516205，或https://math.stackexchange.com/questions/3478537/why-this-definition-for-lebesgue-measurable-functions

更多讨论：

https://mathoverflow.net/questions/31603/why-do-probabilists-take-random-variables-to-be-borel-and-not-lebesgue-measura

https://math.stackexchange.com/questions/3725206/definition-of-lebesgue-measurable-functions-why-borel-sets

注意到Lebesgue-代数是对Borel-代数的补全，因此Lebesgue可测函数一定也是Borel可测函数。

按：在不指定是何种测度时，一般都表示Lebesgue测度。以下就都省去“Lebesgue”。以下的函数也狭义地指值域为$\mathbb{R}$的映射。

Prop. 可测函数的和、积、绝对值以及可测函数序列的上/下确界、上/下极限（关于整数索引）都是可测函数。

Prop.

1. 连续函数都是可测函数；
2. 可测函数后面复合上连续实变函数还是可测函数；
3. (Lusin性质)设$f:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$是可测函数，且支撑集（support）测度是有限值，则$\forall \epsilon >0$，存在函数$f_\epsilon:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$满足：
   • 连续
   • 支撑集是$f$支撑集的紧致子集
   • $sup_x|f_\epsilon(x)|\le sup_x|f(x)|$
   • $f$和$f_\epsilon$至多只在一个测度不超过$\epsilon$的定义区域内不相等。

simple function

设$A\in\mathbb{R}^n$是可测集。则在$A$上的简单函数指函数的像只有有限个值的函数。

据此，我们可以根据简单函数$f$函数值$a_1,...,a_m$的不同，把定义域分割成有限个不相交的子区域$A_1,...,A_m$，使得$f=\sum_{i=1}^m a_i\mathbb{1}_{A_i}$（其实是等价定义）。

Prop. 简单函数可测，当且仅当每个子区域$A_1,...,A_m$都可测。简单函数非负，当且仅当每个函数值$a_i$非负。

Prop. 对任意可测函数$f$，均存在可测简单函数列$\{s_i\}$，使得$|s_i|\le |s_{i+1}|\le |f|,\forall i$，且$\{s_i\}$点点收敛于$f$。如果$f\ge 0$，则也可以要求$s_i \ge 0$。

Lebesgue integral

在可测集$A$上定义的非负可测简单函数$f=\sum_{i=1}^m a_i\mathbb{1}_{A_i}$的Lebesgue积分定义较为自然：

$\int_A s(x)dx=\sum_{i=1}^m a_i\mu(A_i)$

definition 1

对任意定义于可测集$A$的非负可测函数$f$而言，其Lebesgue积分定义为所有不大于$f$的非负可测简单函数Lebesgue积分的上确界。

函数$f$ Lebesgue可积是指函数可测，且

$\int_A max(f(x),0)dx<\infin,\int_A max(-f(x),0)dx<\infin$

这个可积等价于绝对可积，即$\int_A|f(x)|dx < \infin$。

于是对任意定义于可测集$A$的（可正可负的）可测函数$f$而言，其Lebesgue积分定义为：

$\int_Af(x)dx=\int_A max(f(x),0)dx-\int_A max(-f(x),0)dx$

很显然，下达布积分分段找下界求和，再求上确界的方式就是这里Lebesgue积分定义的一种特例。于是黎曼积分也是Lebesgue积分的特例（即黎曼可积/达布可积可以导出勒贝格可积，反之不成立）。

Prop. Lebesgue可积函数几乎处处有限

Prop. $f$ Lebesgue可积当且仅当$|f|$ Lebesgue可积

$\mathscr{L}^1(A)$是由定义在$A$的所有可积函数构成的（实数域上的）向量空间。

“几乎处处相等“定义了$\mathscr{L}^1(A)$上的一个等价关系$R$，该空间关于此等价关系的商集$L^1(A)=\mathscr{L}^1(A)/R$也是向量空间。

于是$L^1(A)$中可以定义合理的范数使得$||f||=0\rightarrow f=0$（不作商集只能导出$f$几乎处处为0），这才是常说的”可积函数集“。

当然，我们之后说$f\in L^1(A)$具有某某性质，就是说$f$所在等价类中至少有一个函数满足该性质。

definition 2

定义$\mathscr{S}(A)$为所有可积简单函数$s:A\rightarrow \mathbb{R}$的集合。容易看出，简单函数可积只需要支撑集测度有限即可。随后还是用”几乎处处相等“的等价关系$R$作商集$S(A)=\mathscr{S}(A)/R$，即可得到一个向量空间。

定义（赋范）映射如下：

$f:s\in S(A)\rightarrow \int_A|s(x)|dx$

可以证明$f$是$S(A)$的一个范数。对度量空间$(S(A),f)$的补全就是可积函数集L^1(A)$。同时，Lebesgue积分定义为对简单函数积分的连续延拓。

definition 3

当定义域$A$为$\mathbb{R}^n$的开子集时，可以用黎曼积分定义Lebesgue积分。

记$C_C(A)$为所有定义在$A$上、支撑集紧致的连续函数，$l:C_C(A)\rightarrow [0,\infin)$是对这种函数绝对值的黎曼积分。则对度量空间$(C_C(A),l)$的补全还是可积函数集$L^1(A)$。可以证明，$C_C(A)$在$L^1(A)$中是稠密的，因此Lebesgue积分定义为黎曼积分的连续延拓。

fundamental theorems of Lebesgue integral

Beppo Levi monotone convergence theorem（单调收敛定理）

设$(f_i)$是$\mathscr{L}^1(A)$的一个几乎处处单调不减非负函数列，且$\lim_{k\rightarrow \infin}\int_A f_k dx<\infin$，则必定存在$f\in\mathscr{L}^1(A)$使得函数列几乎处处收敛于$f$，且$\lim_{k\rightarrow \infin}\int_A|f_k-f|dx=0$。

Fatou’s lemma

设$(f_i)$是几乎处处非负的可测函数列，则

$\int_A (\lim_{k\rightarrow\infin} \inf f_k)dx \le \lim_{k\rightarrow \infin}\inf\int_Af_kdx$

Lebesgue dominated convergence theorem（控制收敛定理）

设$A$是$\mathbb{R}^n$的可测子集，$(f_i)$是$\mathscr{L}^1(A)$的一个函数列，则存在$f$使得该函数列几乎处处收敛到$f$，且存在$g\in\mathscr{L}^1(A)$使得$\forall k,|f_k(x)|\le|g(x)|$几乎处处成立，则

$\lim_{k\rightarrow \infin}\int_A |f_k-f|dx=0$

特别地，由此可得$\int_A fdx=\lim_{k\rightarrow\infin}\int_Af_kdx$

Radon-Nikodym theorem

设$B\sub \mathbb{R}^n$，对$f\in\mathscr{L}^1(B)$，定义$\nu(A)=\int_A fdx,A\in\mathscr{L}(B)$（即定义在$B$所有Lebesgue可测子集的集合之上）。于是$|\nu|\le\int_A|f|dx\le\int_B|f|dx<\infin$。

容易验证，$\nu$是一个有符号测度（可列可加性需要借助控制收敛定理）。

同时该测度函数$\nu$关于Lebesgue测度$\mu$绝对连续（记为$\nu\ll \mu$，即Lebesgue零测集一定也是$\nu$的零测集）。问题在于，如果已知一个绝对连续的有符号测度，能否反过来找到一个$f\in\mathscr{L}^1(B)$满足以上所述的性质？（推广的）Radon-Nikodym定理给出了肯定的回答：

若$\mu$是非负的σ-有限测度，$\nu$是一个关于$\mu$绝对连续的有符号有限测度，则存在$\mu$上可积的$f$，使得:

$\nu(A)=\int_Afd\mu,\forall As.t.\mu\text{-}measurable$。

integral of product measure

在积空间一个可测子集$A\times B\sub\mathbb{R}^m\times \mathbb{R}^n$上有定义的可积二元函数$f$在$A\times B$的积分可以写成：$\iint_{A\times B}f(x,y)dxdy$。其中$dxdy$就是积测度。

Tonelli’s theorem

若积空间各个因子的空间都是σ-有限的（对上文中的欧氏空间都成立），设$f$是$A\times B$上的一个可测函数，则

1. $\forall x\in A,f(x,\cdot)$可测；$\forall y\in B,f(\cdot,y)$可测。
2. $\iint_{A\times B}|f(x,y)|dxdy=\int_A(\int_B|f(x,y)|dy)dx=\int_B(\int_A|f(x,y)|dx)dy$（即绝对值可以交换积分次序）。因此，$f$可积当且仅当$\int_A(\int_B|f|dy)dx<\infin$和$\int_B(\int_A|f|dx)dy<\infin$至少有一个成立。

Fubini’s theorem（交换积分次序）

若$f$是$A\times B$的可积函数，则$f(\cdot,y)$对几乎所有$y$可积，$f(x,\cdot)$对几乎所有$x$可积，且$\iint_{A\times B}f(x,y)dxdy=\int_A(\int_Bf(x,y)dy)dx=\int_B(\int_Af(x,y)dx)dy$（即可以交换积分次序）。