实用点集拓扑2

以下介绍几个重要的拓扑性质：分离性、可数性、紧致性、连通性，对应尤书的第二章。

这一篇介绍前两个特性，以及其可以导出的一些深刻结果。由于拓扑的定义较弱，因此这两个特性通常作为“附加公理”，弥补拓扑本身的不足。

常用分离公理：T1~T4

分离公理都是关于两个点（或闭集）能否用邻域“分离”的性质。

T1

T1：任意两个不同点x和y，x有邻域不含y，y有邻域不含x。

Prop. 满足T1等价于有限子集是闭集。（其实证明相当简单，注意单点集的使用）

Prop. 满足T1后，某个子集的聚点的任意邻域和该子集之交为无穷集。

T2（Hausdorff）

T2：任意两个不同点都有不相交的邻域。

Prop. T2->T1。

Prop. 满足T2后，序列不会收敛到两个或以上的点。

T3

T3：任一点和不含他的任意闭集有不相交的邻域。

Prop. T3等价于：对任一点x及其任意开邻域W而言，存在x的另一个开邻域U，使得U的闭包包含于W。

T4

集合的邻域：若A是U的内部的子集，则称U是A的邻域。

T4：任意两个不相交的闭集有不相交的邻域。

Prop. 在T1成立的前提下，T4->T3->T2。

Prop. 度量空间满足T1~T4全部四条公理。

Prop. T4等价于：对任意闭集A的任意开邻域W，存在A的另一个开邻域U，使得U的闭包包含于W。

正规/正则空间：有时会将满足T4（或T3）的空间称为正规（则）空间，有的书还要求满足T1。因此出现这种名词时注意其定义。

可数公理：C1、C2

邻域系、邻域基

把$x$的所有邻域的集合称为$x$的邻域系$\mathscr{N}(x)$。

若$x$的任意邻域都包含“邻域系的某个子集$\mathscr{U}(x)$”中的某个元素，则称这个子集是邻域基。

显然，邻域系、拓扑结构、拓扑基都可以是邻域基。

度量空间中，所有球形邻域的集合也是邻域基。

C1

C1：任意点都有可数的邻域基。

Prop. 度量空间满足C1。

Prop. 满足C1时，x在A的闭包中，则A中存在收敛到x的序列。

（推论：C1下，用点收敛定义的映射“连续性”可以导出拓扑映射的连续性）

C2

C2：拓扑空间有可数拓扑基。

注意：C2较强，有的度量空间不满足C2。

Prop. C2->C1

Prop. C2一定可分（方法：从拓扑基的每个非空元素中取一个点组成一个可数的稠密集，这个定理反过来不成立）

Prop. 可分度量空间一定满足C2

Prop. 欧氏空间$E^n$是可分度量空间，因此满足C2

Prop.(Lindelof) C2+T3->T4

Hilbert空间$E^{\omega}$

希尔伯特空间定义在所有平方收敛的实数序列所组成的线性空间上。

其内积定义为$<{x_n},{y_n}>=\sum x_iy_i$，由该内积即可导出相应的度量。

Prop. 希尔伯特空间满足C2

遗传性、可乘性

一种拓扑性质是：

1. 遗传性的，若拓扑空间具有则其子空间（诱导拓扑）也具有。
2. 可乘性的，若若干拓扑空间具有则积空间也具有。

Prop. 可分性是可乘的。

Prop. T1~T3既遗传又可乘，T4二者都不满足。

Prop. C1，C2既遗传又可乘。

Урысо́н（乌雷松、Urysohn）引理

拓扑空间$X$满足T4，等价于对其任意两个不相交闭集$A,B$，存在$X$上的连续函数$f$，使得$f(A)\equiv 0,f(B)\equiv 1$。

Tietze扩张定理

拓扑空间$X$满足T4，等价于定义在$X$闭子集上的连续函数可以连续地扩张到$X$上。

注意：以上两个定理说的都是函数而非映射。

Урысо́н度量化定理

一个拓扑空间称为可度量化的，当可以在基集上定义一个度量，使其导出的拓扑结构就是该拓扑空间原本的拓扑结构。

拓扑空间可度量化等价于该拓扑空间可以被嵌入某个度量空间。

度量化定理：T1+T4+C2->该拓扑空间可以嵌入Hilbert空间中。