实用点集拓扑1

接续“实用微分几何2”中的拓扑内容，继续补完点集拓扑的一些基本概念。

参考：尤承业编著《基础拓扑学讲义》

拓扑的大小（“精细”）

对定义在同一集合的两个拓扑结构而言，拓扑的大小就是拓扑结构的基数，即开子集的“个数”。开子集越“多”，拓扑越大（或者说越精细）。

两种特殊拓扑

余有限拓扑

$X$是无穷集合，$\mathscr{T}=\{A^C|A\sub X,|A|<inf\}\cup\{\emptyset\}$。

即：余有限拓扑的闭集为有限子集。

余可数拓扑

$X$是不可数无穷集合，$\mathscr{T}=\{A^C|A\sub X,|A|\le\aleph_0\}\cup\{\emptyset\}$

即：余可数拓扑的闭集为可数子集。

闭集

拓扑空间$X$的一个子集$A$是闭集，当$A^C$是开集。

需要注意的是：开集和闭集并不矛盾，一个子集完全可以既是开的又是闭的。

闭集性质（直接由拓扑定义导出）

1. 全集和空集是闭集。
2. 任意多闭集的交是闭集。
3. 有限多闭集的并是闭集。

邻域、内点、内部

设$x\in A\sub X$（$A$只要求是一个任意的子集），若$\exist open\space U,s.t.x\in U\sub A$，则称$x$是$A$的内点，$A$是$x$的邻域（因此邻域未必是开的！）。即一个集合的内点应该能被该集合的一个开子集容纳。

$A$的所有内点组成的集合就是$A$的内部，记为$A^\circ$。

$A$的内部是$A$所包含的开集中最大的一个。若$A$和$A^\circ$相等，则$A$是开集。

聚点、闭包、稠密、可分

设$A\sub X$，$x\in X$，若$x$的每个邻域都含有$A-\{x\}$中的点，则称$x$是$A$的聚点（注意这是在一般的拓扑空间中定义的，因此有限集未必没有聚点）。

$A$所有聚点的集合为$A$的导集$A'$。$\bar{A}=A\cup A'$称为$A$的闭包。闭包一定是闭集。

因此，闭包中的点就是任意邻域都和原集合有非空交集的点。

$A$是稠密的，当$A$的闭包就是全集$X$。若存在可数的稠密子集，则$X$是可分空间。

序列收敛

若某点的任意邻域都包含了某个序列的几乎所有项（即不在邻域中的项只有有限个），则称序列收敛到该点。

注意：欧氏拓扑中的部分性质在一般拓扑中不在成立。

嵌入

如果单射$f:X\rightarrow Y$是连续的，且$f:X\rightarrow f(X)$是同胚映射，则$f$就是把$X$嵌入$Y$的嵌入映射。

积拓扑/箱拓扑

生成子集族

设$\mathscr{B}$是$X$的一个子集族（按：没要求开或闭），则称：

$\bar{\mathscr{B}}=\{U\sub X|U=union\space of\space some\space (include\space 0)\space elments\in\mathscr{B}\}$是$\mathscr{B}$生成的子集族。

这里的并可以是任意并，并不要求是有限/可数无穷并。

投射（Projection）

（采用Wiki的一般性定义）针对一组集合$X_1,...X_n$，投射指的是这样一族映射$j_1,..,j_n$，使得$j_i:X_1\times ... \times X_n\rightarrow X_i$，$j_i(x_1,...,x_n)=x_i$。

有限积拓扑（product topology）

在已经有有限多个拓扑空间的前提下，我们希望在这些拓扑空间基集的笛卡尔积上再定义一个拓扑。这个拓扑应该使得所有投射连续，且是满足此要求的最小拓扑。

Cor. 若所有投射连续，则已有拓扑的开集的笛卡尔积应是这个新拓扑$\mathscr{T}$的开集。

简证：假定$U_1,..,U_n$是定义在$X_1,...,X_n$上的拓扑$\mathscr{T}_1,...,\mathscr{T}_n$意义下的开集，则由投射的连续性有$\forall i,j_i^{-1}(U_i)\in\mathscr{T}$，于是

$U_1\times ... \times U_n=(U_1 \times X_2 \times ... \times X_n)$

$\cap (X_1\times U_2 \times X_3 \times ... \times X_n)$

$\cap...$

$\cap (X_1\times ...\times U_n)$

$=j_1^{-1}(U_1)\cap ... j_n^{-1}(U_n)\in\mathscr{T}$（参考拓扑定义）

Prop. 设$\mathscr{B}=\{U_1\times...\times U_n|U_i \in \mathscr{T}_i\}$，即开集的笛卡尔积的总集，则$\bar{\mathscr{B}}$是$X_1\times ... \times X_n$上的一个拓扑，称为（有限情形下的）积拓扑。（证略）

由于乘积拓扑的存在，则可以定义有限个拓扑空间的乘积（基集为各基集的笛卡尔积，拓扑结构则按乘积拓扑的定义构造）。这就是所谓的乘积空间。

有限/无限箱拓扑（box topology，又称盒拓扑）

有限情况下的箱拓扑的定义和有限情况的积拓扑完全相同。

无限情况下箱拓扑是有限情形定义的自然推广，即：

设$\mathscr{B}=\{U_1\times...|U_i \in \mathscr{T}_i\}$，即开集的无穷笛卡尔积的总集，则$\bar{\mathscr{B}}$是$X_1\times ... \space$上的一个拓扑，称为（无限下的）箱拓扑。（证略）

无限积拓扑

无限情形下的积拓扑比箱拓扑小，它的定义是：

设$\mathscr{B}=\{U_1\times...|U_i \in \mathscr{T}_i,only\space finite\space number\space of\space U_i\neq X_i\}$，，则$\bar{\mathscr{B}}$是$X_1\times ... \space$上的一个拓扑，称为（无限下的）积拓扑，或称吉洪诺夫（Тихонов）拓扑。（证略）

（在无限情形下，相对于箱拓扑而言）积拓扑才是使得所有投射连续的最小拓扑。（详细分析参见https://math.stackexchange.com/questions/871610/why-are-box-topology-and-product-topology-different-on-infinite-products-of-topo）

乍一看感觉箱拓扑才是最“基本”的那一个拓扑。因此，这个结论令人印象深刻。实际中常用的其实是积拓扑，箱拓扑则通常用来举反例等。

分量

对于值域为积空间的映射$f$，我们可以把投射复合上去，从而获得分量。

即$f:Y\rightarrow X_1\times ... \times X_n$的第$i$个分量是$j_i\circ f:Y\rightarrow X_i$。

Prop. $f$连续等价于其各分量都连续。（证略）

注意：这条定理在无穷情形下的积空间下也成立，但在无穷下的箱空间下不成立。事实上，这个定理只在积空间成立。

拓扑基

集合的拓扑基

$\mathscr{B}$是$X$的拓扑基，当$\bar{\mathscr{B}}$是$X$的一个拓扑结构。

Prop. $\mathscr{B}$是$X$的拓扑基的充要条件是

1. $\mathscr{B}$所有元素的并等于$X$
2. $\mathscr{B}$中任意两个元素的交属于$\bar{\mathscr{B}}$

拓扑空间的拓扑基

$\mathscr{B}$是$(X,\mathscr{T})$的拓扑基，当$\bar{\mathscr{B}}=\mathscr{T}$。

Prop. $\mathscr{B}$是$(X,\mathscr{T})$的拓扑基的充要条件是

1. $\mathscr{B}\sub \mathscr{T}$
2. $\mathscr{T}\sub \mathscr{B}$

在利用拓扑基后，邻域、聚点、闭包、连续等的检验可以得到简化（参考原书p34）。