三维旋转的表示

三维旋转的矩阵、欧拉角、角轴、反对称阵、四元数等表示法。

Rotation Matrix

$SO(3)=\{R\in\mathbb{R}^{3\times 3}:det(R)=1,R^TR=RR^T=I\}$是所谓的$3\times 3$的特殊正交群（即通俗所说的旋转群），是$3\times 3$一般线性群（可逆矩阵集，$GL(3,\mathbb{R})$）的子群：

• 特殊（Special）：指行列式为1。若行列式为-1，其几何含义为旋转和镜像对称的复合。
• 正交（Orthogonal）：指成员都是正交阵（没有行列式约束的$3\times 3$正交群记为$O(3)$）
• 群：在矩阵乘法的意义下封闭（很容易验证）。

$SO(3)$中的每个矩阵都描述了三维空间中的一种旋转，其自由度为3。

容易证明：每个旋转对应唯一的一个旋转矩阵。因此旋转矩阵和旋转一一对应。

Active & Passive Transformation

有时需要注意变换的主动/被动问题。”主动“指真真切切地变化了某个物体的位置，”被动“则是指通过把变换施加在坐标系上。二者都使得物体的坐标发生了变化。

以下绝大多数地方，我们都默认使用主动的变换。

Euler Angle

欧拉角的核心想法是：把三维的旋转分解为三个二维的旋转，每次旋转都有不同的转角和转轴。

注意：欧拉角的定义方式很多，使用时一定要确认定义的形式。

一般地，有两种定义的方法：

• 外部坐标（extrinsic）：转角是相对空间原有的固定坐标系而言的。
• 内部坐标（intrinsic）：转角是相对于被转动物体的本地坐标系（会发生变化）而言的。

轴的选择和顺序也有许多种（分为两组）：

• Proper（classic） Euler Angles：……
• Tait-Bryan Angles（yaw，pitch，roll）：……

最终，我们就可以将旋转矩阵写成类似$R=X(\alpha)Y(\beta)Z(\gamma)$的形式（可能根据具体的定义不同而不同，但总是能写成三个基本的旋转矩阵之复合）。具体的不同定义下的公式可以通过查阅Wiki等获取。

问题：

• 对同一旋转的表示不唯一
• 万向锁问题（Gimbal lock），即有些情况下固定某个转角到一个特定数值，则另外两个待定转角就只剩下一个自由度了。这对梯度下降法会有影响：参考https://www.quora.com/Robotics-What-is-meant-by-kinematic-singularity?share=1；实际上，发生lock的实质就是这个位置上旋转的Jacobian不满秩（所谓的“切向量降维”），也就是说梯度下降的轨迹也会限定在一个唯一的方向，不能覆盖整个参数空间。

Angel-axis/Rotation vector

角轴法指用一个单位长的轴$\hat{\omega}$（模长为1，故自由度为2）和对应的转角$\theta$（自由度为1）描述旋转。

旋转向量法（或称指数坐标（exponential coordinate））和角轴法基本是一样的。旋转向量就是用转角数乘单位长的转轴。可以记为$\omega=\theta\hat{\omega}$。

问题：对同一旋转，角轴法的表示不唯一（$(\hat{\omega},\theta),(-\hat{\omega},-\theta)$是相同的旋转，同时恒同映射的转轴方向是任意的）。因此通常限定一下$\theta\in(0,\pi])$

Skew-symm Matrix

我们定义一个线性映射$[]:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^{3\times 3}$，使得叉积可以用线性变换表示，即：

$a\times b = [a]b,a,b\in \mathbb{R}^3$

设$a=[a_1,a_2,a_3]^T$，则据此得到：

$[a]=\begin{bmatrix} 0 & -a_3 & a_2 \\ a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0 \end{bmatrix}$

记$so(3)=\{S\in\mathbb{R}^3|S^T=-S\}$，则$so(3)$的每个元素都可以通过上述映射的”逆“映射和某个旋转向量对应，因此用反对称矩阵也能表示旋转。

Quaternion

四元数可以看成推广的复数$q=w+xi+yj+zk$。称$w$为实部，$v=(x,y,z)$为虚部。

虚部的”基底“$i,j,k$满足：

$i^2=j^2=k^2=ijk=-1$

$ij=k=-ji,jkk=i=-kj,ki=j=-ik$

operation

乘法：$q_1q_2=(w_1w_2-v_1^Tv_2,w_1v_2+w_2v_1+v_1\times v_2)$

共轭：$q^*=(w,-v)$

模方：$||q||^2=w^2+v^Tv=qq^*=q^*q$

逆：$q^{-1}=q^*/||q||^2$

rotation representation

定义用四元数$q$旋转三维矢量$x$的方法为：

1. 将三维矢量转换为对应的四元数$x_q=(0,x)$
2. $x'_q=qx_qq^{-1}$

因此，四元数表示下的旋转的叠加就是四元数之积；四元数乘上实数倍数不改变其表示的旋转，即在某条过原点的直线上的所有四元数（原点除外）表示相同的旋转，且不在同一条这样的直线上的四元数表示的旋转不同。（按：这其实形象化地解释了$SO3$和$RP3$之间的微分同胚关系）

$RP^n$ is formed by taking the quotient of $\mathbb{R}^{n+1}$ ∖ {0} under the equivalence relation x ∼ λx for all real numbers λ ≠ 0. For all x in ∖$\mathbb{R}^{n+1}$ {0} one can always find a λ such that λx has norm 1. There are precisely two such λ differing by sign.

——“Real projective space”,Wiki

如果限定只用单位长的四元数来表示旋转，则每个旋转对应两个互为相反数的四元数（Double-Covering）。

Relationship between representations

Axis-angle -> Matrix

通过几何意义可以构造微分方程解出（构造略）：

$R=e^{[\omega]}=e^{[\theta\hat{\omega}]}=e^{\theta[\hat{\omega}]}$

（旋转向量的”指数坐标“之称也是由此而来）

注意到$[\hat{\omega}]$的特征多项式$det([\hat{\omega}]-\lambda I)=-\lambda^3-\lambda$，根据Cayley-Hamilton定理可以直接得到：

$[\hat{\omega}]^3=-[\hat{\omega}]$(*)

（(*)式也可直接计算得以证明）。由此可知指数展开式可以化为有限项的形式。

$R=e^{\theta[\hat{\omega}]}$

$=I+\theta[\hat{\omega}]+\frac{1}{2!}\theta^2[\hat{\omega}]^2+\frac{1}{3!}\theta^3[\hat{\omega}^3]+...$

$=I+[\hat{\omega}](\theta-\frac{\theta^3}{3!}+...)+[\hat{\omega}]^2(\frac{\theta^2}{2!}+...)$

$=I+[\hat\omega]sin\theta+[\hat\omega]^2(1-cos\theta)$

这就是大名鼎鼎的Rodrigues Formula。

⚠：注意区分$[\hat\omega]$和$[\omega]$

Axis-angle -> Quaternion

$q=[cos(\theta /2),sin(\theta / 2)\hat\omega]$

Quaternion -> Axis-angle

$\theta = 2arccos(w)$

$\hat\omega=\frac{1}{sin(\theta/2)}v$ （当$\theta$非0，否则可以把$\hat\omega$置为0）

Matrix -> Axis-angle

当$tr(R)\neq -1$：

$\theta=arccos(\frac{1}{2}(tr(R)-1))$

$[\hat\omega]=\frac{1}{2sin\theta}(R-R^T)$

当$tr(R)= -1$：$\theta=\pi$

Quaternion -> Axis-angle

$E=[-v,wI+[v]]$

$G=[-v,wI-[v]]$

$R=EG^T$

More?

可以参考On the continuity of rotation representations in neural network的讨论。其中指出一种6D的旋转表示方法（先33组合为两个矢量并单位化，然后施密特正交化，最后叉积出第三个矢量）实现起来较为方便，可以进行尝试。