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实用微分几何6

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在曲面基本概念的基础上讨论曲率相关问题，对应原书第三章，并参考了Wiki等外部资料。

注意：未加声明，以下均只考虑正则曲面。由于不同地方对这些概念的定义有一定差异，因此这里给出的其实只是一种相容的说法。

Orientation for surfaces

在整个曲面上定义的单位法向量映射如果可微，则称曲面可定向（Orientable）。法向量选择的方向就是曲面的方向。

显然，平凡流形（一张图足以覆盖全曲面）必定是可定向的。任意曲面在局部也是可定向的。

法向量定向也为切平面做了定向，即切平面的基向量有了先后顺序之分。

以下总假设曲面可定向。

Gauss map

曲面上一点到该点处的单位法向量的映射就是高斯映射（记作NN）。由于是单位法向量，则可以看成是由曲面到单位球面的映射。

由于总假设是可定向曲面，因此高斯映射是可微的。

考虑到微分的定义（局部线性化），可知高斯映射的微分dNdN是从曲面某点的切平面到单位球面对应点的切平面的线性映射（这称作高斯映射的切映射）。而“曲面某点的切平面”和“单位球面在该点的切平面”都和法向量垂直，因此这两个平面其实是同一个平面，所以高斯映射的微分可以看成是切平面内部的线性映射。

Weingarten Map（Shape Operator）

就是高斯映射的微分（dNdN）。（有的地方取其相反数）

在使用R3\mathbb{R}^3的自然坐标时，由于高斯映射是三维矢量到三维矢量的映射，则dNdN其实是一个3×33\times 3矩阵。但是当我们在某点的切平面内部使用参数空间的自然坐标（即使用切向量fu,fvf_u,f_v为基）时，dNdN就可以写成2×22\times 2矩阵。事实上，后者才是最常见的形式。

Prop Shape Operator（dNdN）是自伴（self-adjoint）算子。

证明概要：考虑证明<x1,Ax2>=<A∗x1,x2><x_1,Ax_2>=<A^*x_1,x_2>。

设df=[fu,fv]df=[f_u,f_v]，则根据定义：

<N,fu>=<N,fv>=0<N,f_u>=<N,f_v>=0

左式对vv，右式对uu微分得：

<Nv,fu>=−<N,fuv><N_v,f_u>=-<N,f_{uv}>

<Nu,fv>=−<N,fvu><N_u,f_v>=-<N,f_{vu}>

（左式对uu，右式对vv微分还可以得到两个等式，可以用于第二基本形的导出（见后））

由于参数化映射ff是光滑的，则其混合偏导都连续，则可交换次序。于是：

<Nv,fu>=<Nu,fv>(∗)<N_v,f_u>=<N_u,f_v>(*)

考虑链式法则，则有

Nv=dN(fv),Nu=dN(fu)N_v=dN(f_v),N_u=dN(f_u)

于是设x1=afu+bfv,x2=mfu+nfvx_1=af_u+bf_v,x_2=mf_u+nf_v，

<dNx1,x2>=<aNu+bNv,mfu+nfv><dNx_1,x_2>=<aN_u+bN_v,mf_u+nf_v>

<x1,dNx2>=<afu+bfv,mNu+nNv><x_1,dNx_2>=<af_u+bf_v,mN_u+nN_v>

二者作差，再结合(*)式即得二式相等，故dNdN是自伴的。

注意：当选择的是单位正交基时，自伴算子的矩阵形式才是对称的。

Second Fundamental Form

为了衡量曲面的弯曲程度，则考虑f(p)f(p)点附近的点f(p+dp)f(p+dp)和f(p)f(p)的切平面的距离（pp是参数空间中的一点，dp=(du,dv)dp=(du,dv)是参数空间的微元，以参数空间的自然单位正交基为基）。

distance=<f(p+dp)−f(p),N>distance=<f(p+dp)-f(p),N>

=<fudu+fvdv,N>+12<fuu(du)2+2fuvdudv+fvv(dv)2,N>+...=<f_udu+f_vdv,N>+\frac{1}{2}<f_{uu}(du)^2+2f_{uv}dudv+f_{vv}(dv)^2,N>+...

=0+12(<fuu,N>(du)2+2<fuv,N>dudv+<fvv,N>(dv)2)+...=0+\frac{1}{2}(<f_{uu},N>(du)^2+2<f_{uv},N>dudv+<f_{vv},N>(dv)^2)+...

抛弃常系数12\frac{1}{2}和高于二阶的项，则有式（注意参考证明Shape Operator自共轭的过程）：

<fuu,N>(du)2+2<fuv,N>dudv+<fvv,N>(dv)2<f_{uu},N>(du)^2+2<f_{uv},N>dudv+<f_{vv},N>(dv)^2

=−<fu,Nu>(du)2−<fu,Nv>dudv−<fv,Nu>dvdu−<fv,Nv>(dv)2=-<f_u,N_u>(du)^2-<f_u,N_v>dudv-<f_v,N_u>dvdu-<f_v,N_v>(dv)^2

=−<Nudu+Nvdv,fudu+fvdv>=-<N_udu+N_vdv,f_udu+f_vdv>

=−<dN(fudu+fvdv),fudu+fvdv>=-<dN(f_udu+f_vdv),f_udu+f_vdv>

=−<dN(dfdp),dfdp>=-<dN(dfdp),dfdp>

其中dfdp∈R3dfdp\in\mathbb{R}^3就是曲面被嵌入的R3\mathbb{R}^3中，和参数空间微元dpdp相对应的微元。

因此，对一般的R3\mathbb{R}^3中的向量vv，将二次型IIII，s.t.II(v)=−<dN(v),v>II(v)=-<dN(v),v>称为第二基本形。根据上文的讨论，他在二阶意义下刻画了曲面在一点附近弯曲（bending）程度的全部信息。

这个二次型也可以变成−<(dfTdNdf)dp,dp>-<(df^TdNdf)dp,dp>，其中的dfTdNdfdf^TdNdf就是用L,M,NL,M,N写出的对称2×22\times 2矩阵（即通常所说的“第二基本形”）。注意：由于dpdp使用的是参数空间的单位正交基，因此这种形式下得到的(dfTdNdf)(df^TdNdf)总是对称的。

dNdN在切平面内2×22\times2矩阵的形式

对R3\mathbb{R}^3中的任意三维向量ZZ，其在切平面中的投影用fu,fvf_u,f_v为基的坐标表示为df+Z=(dfTdf)−1dfTZdf^+Z=(df^Tdf)^{-1}df^TZ。其中df+df^+是dfdf的左伪逆（存在性由曲面的正则性保证）。当这个三维向量ZZ本就在切平面中时，其投影就是自身，于是这就完成了从R3\mathbb{R}^3坐标到切平面中fu,fvf_u,f_v为基的坐标之间的一个坐标变换。

对于用切向量fu,fvf_u,f_v为基的二维向量XX，其在R3\mathbb{R}^3自然坐标表示为dfX∈R3dfX\in\mathbb{R}^3。

假设将用切向量fu,fvf_u,f_v为基的dNdN记为SS，则有<SX,Y>1st form=<dfSX,dfY>=<dN(dfX),dfY><SX,Y>_{1st\space form}=<dfSX,dfY>=<dN(dfX),dfY>，其中<,>1st form<,>_{1st\space form}指通过R3\mathbb{R}^3中的自然内积诱导出的切平面中的内积（原理和第一标准形相同）。

于是得到dfTdfS=dfTdNdfdf^TdfS=df^TdNdf，即有S=df+dNdfS=df^+dNdf（即通常所说的“Shape Operator”）。由此可见，虽然dNdN是对称的，但这种形式下的Shape Operator SS并不是，因为不能保证切平面的基向量fu,fvf_u,f_v是单位正交基。当他们确实是单位正交基时，容易验证SS对称。

（更简单的验证方法是具体计算出SS的形式，公式参考wiki：https://en.wikipedia.org/wiki/Differential_geometry_of_surfaces）

（⚠：上面的wiki链接中的“Shape Operator公式”其实表示的是上文提到的SS的转置。其引用的Do Carmo原书出现此公式的地方其实是在计算STS^T(p157的(3)式，注意各个aija_{ij}的下标！)）

*和Geometry meets deep learning一课中记号的关系（可跳过）

在这门课中，DN=[Nu,Nv]DN=[N_u,N_v]是指一个3×23\times2的矩阵。易知DN=dNdfDN=dNdf。

而Shape Operator被定义为满足DNX=dfSXDNX=dfSX的2×22\times2矩阵SS，容易验证SS和前面得到的形式一致。

⚠：以上所述的SS相当于I−1III^{-1}II，有的地方会多加一个负号。没加负号时主曲率（见下）是特征值的负值。

Normal Curvature

对正则曲面上过pp的曲线而言，设曲线和曲面在pp处的法向量夹角为θ\theta，曲线在pp的曲率为kk，则kn=kcosθk_n=kcos\theta称为pp点处关于该曲线的法曲率。

法曲率正负由曲面定向确定，但与曲线的定向无关。

由于曲线切向量的微分就是曲线曲率乘曲线法向量，因此法曲率的几何含义是曲线切向量微分在曲面法向的投影。

Meusnier Thm🔑

梅斯尼埃定理：曲面内过pp点的任何曲线，只要在pp点的切线相同，则法曲率就相同。

证明：以下用大写、小写分别表示曲面、曲率的切/法量

考虑到曲线在pp的切向量也在曲面切平面里面（切平面定义），于是有<n,t>=0<n,t>=0。关于弧长参数（因此这里的切向量都是单位长度的）微分有<n,t′>=−<n′,t><n,t'>=-<n',t>。

则II(t)=−<dN(t),t>=−<N′,t>=<N,t′>=<N,kn>=knII(t)=-<dN(t),t>=-<N',t>=<N,t'>=<N,kn>=k_n

由于第二基本形只和曲面本身相关，因此切线相同（有相同单位切向量）的曲线都有相同的法曲率。

当切向量并非单位切向量时，可以使用第二标准形除第一标准形II(v)/I(v)II(v)/I(v)得到对应方向的法曲率。

Principle Curvature

最大法曲率（k1k_1）和最小法曲率（k2k_2）称为主曲率。

在使用第二标准形的原始定义II(t)=−<dN(t),t>,t∈R3II(t)=-<dN(t),t>,t\in\mathbb{R}^3时，tt除了要满足单位长的约束外还要满足“位于切平面内”的约束。但当使用参数空间的单位正交基时，第二基本形可以写成II(X)=−<(dfTdNdf)X,X>II(X)=-<(df^TdNdf)X,X>。于是求法曲率的最值就变成如下优化问题的解：

Minimize(or Maximize)II(X)=−<(dfTdNdf)X,X>Minimize(or\space Maximize)II(X)=-<(df^TdNdf)X,X>

s.t.<dfX,dfX>=1,X∈R2s.t.<dfX,dfX>=1,X\in\mathbb{R}^2

注意：约束条件不是<X,X>=1<X,X>=1，而是XX对应的切向量长为1（道理和第一标准形一样）。

于是L=−XTdfTdNdfX−λ(XTdfTdfX−1),λ∈RL=-X^Tdf^TdNdfX-\lambda (X^Tdf^TdfX-1),\lambda\in \mathbb{R};

∂L∂X=−2dfTdNdfX−2λdfTdfX=0\frac{\partial L}{\partial X}=-2df^TdNdfX-2\lambda df^TdfX=0;

∂L∂λ=−(XTdfTdfX−1)=0\frac{\partial L}{\partial \lambda}=-(X^Tdf^TdfX-1)=0

（KKT）

即：XX是−df+dNdf=−S-df^+dNdf=-S的特征向量（主方向），对应的极值（其实就是λ\lambda）是XX此时对应的特征值（主曲率）。（如果前面Shape Operator定义多一个负号，那么这里直接就是SS的特征向量和特征值。）

⚠主曲率并不是“通常所说的第二基本形”（−dfTdNdf-df^TdNdf）的特征值！

注意到Shape Operator并不对称，因此**它的特征向量在参数空间的自然内积的意义下并不正交。**但可以验证他的特征向量对应的切向量在R3\mathbb{R}^3中正交（或：在第一基本形所规定的内积意义下正交。），见下（设−S-S的特征值和对应的特征向量为λ1,λ2,X1,X2\lambda_1,\lambda_2,X_1,X_2）：

λ1<dfX1,dfX2>\lambda_1<dfX_1,dfX_2>

=<df(λ1X1),dfX2>=<df(\lambda_1X_1),dfX_2>

=<−df(dfTdf)−1dfTdNdfX1,dfX2>=<-df(df^Tdf)^{-1}df^TdNdfX_1,dfX_2>

（注意(dfTdf)−1(df^Tdf)^{-1}是对称的）

=<−dfTdNdfX1,(dfTdf)−1dfTdfX2>=<-df^TdNdfX_1,(df^Tdf)^{-1}df^TdfX_2>

=<−dfTdNdfX1,X2>=<-df^TdNdfX_1,X_2>

=<X1,−dfTdNdfX2>=<X_1,-df^TdNdfX_2>

以下再对称地倒推回去，就得到

=...=λ2<dfX1,dfX2>=...=\lambda_2<dfX_1,dfX_2>

可见只要不是特征值相等，就有特征向量对应的切向量正交。

当法曲率在各方向相等时，则每个方向都是主方向。否则就一定只有两个主方向。

line of curvature

曲面内一个正则联通曲线处处切向量都是主方向，则称之曲率线。

Prop 曲率线的充分必要条件是曲线切线必须处处和法向量导数只相差一常数（其实就是主曲率之一的相反数），且该常数关于曲线参数光滑。

Euler Formula

考虑在切平面中以主方向e1,e2e_1,e_2为基，设某单位切向量vv和e1e_1夹角为θ\theta（从e1e_1向e2e_2转），则

v=e1cosθ+e2sinθv=e_1cos\theta+e_2sin\theta

则kn(v)=II(v)=−<dN(v),v>=...=k1cos2θ+k2sin2θk_n(v)=II(v)=-<dN(v),v>=...=k_1cos^2\theta+k_2sin^2\theta

Gaussian Curvature

K=k1k2=det(−S)=det(S)K=k_1k_2=det(-S)=det(S)

显然和曲面定向无关。和Shape Operator的定义是否要加负号也无关。

Gauss‘s Theorema Egregium（高斯绝妙定理）

高斯曲率在局部等距变换下不变，即只和第一基本形相关。（证明：Brioschi公式）

Mean Curvature

H=k1+k22=−tr(S)2H=\frac{k_1+k_2}{2}=-\frac{tr(S)}{2}

和曲面定向相关。

Fundamental Thm for Surfaces

第一标准形和第二标准形的2×22\times2矩阵一共有8个参数。第一标准形总是对称的，因此减掉一个自由度（当然，还要求第一标准形是正定的）；同时，这些参数还应该满足Gauss-Codazzi方程的约束。因此，一共有6个自由参数。

若两个2×22\times2矩阵满足以上所有要求，则一定存在曲面使其第一基本形和第二基本形正好就是这两个矩阵，且所有这样的曲面至多相差一个刚体运动。

一个弱化的说法是：如果两个曲面具有完全相同的第一、第二基本形，则这两个曲面之间至多相差一个刚体运动。或者还可以说：第一、第二基本形不受刚体运动的影响。

Classification of Surface Points

对曲面上的点，根据其高斯曲率符号进行分类：

  1. H>0H>0：椭圆型(Elliptic)
  2. H<0H<0：双曲型(Hyperbolic)
  3. H=0H=0：再分两类：
    1. dN≠0dN\ne 0：抛物型(Parabolic)
    2. dN=0dN=0：平面型(Planar)

由于高斯曲率和定向无关，因此这种分类也和定向无关。

Umbilical point

主曲率相等时称这种点为脐点。这可能在平面型和椭圆型两类点中出现。

Interesting Prop 联通曲面所有点为脐点，则这个曲面或者是平面，或者是球面。

asymptotic direction/Curve

法曲率为0的方向称为渐进方向。

若曲面内的一条联通曲线处处切线均为渐进方向，则称为渐近线

椭圆型点没有渐近方向。

Conjugate Directions

若某两个方向上的切向量在由dNdN导出的内积中正交，则称这两个方向共轭。

主方向相互共轭

渐进方向自己和自己共轭

脐点上正交的方向都共轭，平面上任意方向共轭。

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