实用微分几何5

在曲面基本概念的基础上的进一步探讨。

tangent vector

曲面在某点处的切向量，就是指在曲面上且经过该点的一条曲线在该点的切向量。

显然，切向量不唯一

tangent plane

$p$ 点处参数化映射微分的列空间（Range）包含所有切向量，其中所有向量也都是切向量。过 $p$ 点的对应平面就是切平面，记为 $T_p(S)$

local diffeomorphism

考虑在从一个正则曲面（的一个开子集 $U$ ）到另一个正则曲面的光滑（已参数化）映射，若该映射的微分在 $p\in U$ 是双射，则该映射反映了 $p$ 点所在局部与另一个正则曲面局部的微分同胚。

unit normal vector, normal line

与某点切平面正交的单位向量有（方向相反的）两个，他们都是单位法向量。通过该点且和单位法向量平行的直线就是法线。

当固定参数化映射后，可以唯一地定义单位法向量为该映射第一列和第二列的叉积再归一化。

显然，这个映射通常不能拓展到整个曲面，不同的地方对应了不同的图。因此有时是不可定向的。

First Fundamental Form

从切平面内部的坐标表示到 $\mathbb{R}^3$ 的映射可能会导致用切平面基向量坐标系下坐标所表示的自然内积（由二阶单位阵导出的内积）和 $\mathbb{R}^3$ 中坐标所表示的自然内积（由三阶单位阵导出的内积）不相等。因此，切平面中的内积是用另一个正定阵导出的，以使之和 $\mathbb{R}^3$ 的自然内积一致。

这个正定阵就是第一基本形（ $p$ 点的第一基本形记为 $I_p$ ）。

当我们使用参数化映射微分 $Df$ 的两列作为切平面的基时，设 $X,Y$ 为使用这对基表示的两个切向量（于是 $X,Y$ 都是二维的），则它们在 $\mathbb{R}^3$ 中的坐标为 $DfX,DfY$ ，其自然内积为 $<DfX,DfY>=X^TDf^TDfY$ ，因此第一基本形就是 $Df^TDf$ 。

由此可见，第一基本形完全表现了曲面的度量性质。

当曲面变换使得第一基本形不变，则称为保距变换（Isometric map），即保持局部区域内的测地距离（或弧长）不变的变换。示例：圆柱侧面和长方形。
当曲面变换使得第一基本形只相差一个固定常数倍的因子，则称为保角变换（共形变换，Conformal map）。任何曲面都存在到平面的共形变换。示例：墨卡托投影。
保距变换也是保角变换，反之则未必。

Area

对正则曲面的一个有界区域而言，参数化映射微分的两列的内积模在该区域对应的参数域的积分就是这个有界区域的面积。