实用微分几何4

经典曲面论基本概念

Regular Parameterized Surface

正则曲面定义为 $\mathbb{R}^3$ 的一个子集，且对其中任意点 $p$ 而言：

$p$ 的某个邻域和曲面的交集与某个 $\mathbb{R}^2$ 开集同胚
这个同胚的映射总是光滑的
（正则性）这个同胚的映射的微分是双射

注1：这里的曲面又不是指映射，而是指子集（类似trace）

注2：第1、2条和微分流形定义一致，相容性是显然成立的

注3：同胚映射的微分就是Jacobi。虽然不是方阵，但其定义域（或值域）是“邻域和曲面的交集”而非三维空间，因此是可以做到双射的。

注4：称各个同胚映射为局部坐标系或者参数化

注5：正则条件等价于（当同胚映射的方向为二维开集到曲面时）Jacobi矩阵的两列线性无关。

Prop 定义于 $\mathbb{R}^2$ 开集的二元函数 $f(x,y)$ 光滑时， $(x,y,f(x,y))$ 是正则曲面

Critial Point

按：这里是扩展版的驻点定义，实际上包含了一般的”导数为零“的驻点定义。

对光滑映射 $F:U\in\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^m$ 而言，称 $p\in U$ 是驻点当 $F$ 在 $p$ 点处的微分非满射。

称驻点 $p$ 处的像 $F(p)$ 为临界值， $\mathbb{R}^m$ 中的其余点都称为正则值。

Prop 当 $f:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}$ 光滑且 $a$ 是正则值，则 $\{p|f(p)=a\}$ 是正则曲面。

DIfferentiable Function（Scalar Field）

以曲面的一个开子集为定义域，以实数为值域的映射 $f:V\sub S\rightarrow \mathbb{R}$ 就是一个函数。

函数在 $p\in V$ 光滑，就是说存在一个包含 $p$ 的局部坐标系（参数化、图） $\psi$ ，使得 $f$ 和该参数化对应的映射的复合 $f\circ \psi$ 在 $\psi^{-1}(p)$ 处光滑。

函数在 $V$ 光滑，就是说函数在 $V$ 的任意一点光滑。

这里同样有绝对和相对的问题。不过可以证明函数的光滑性在任意坐标系下都一样。

Differentiable Map （between surfaces）

和微分流形之间的映射的可微性、光滑性的定义完全一致。

同前，参数化方式不影响映射的可微性和光滑性。

Diffeomorphism （between surfaces）

和微分流形的微分同胚完全一致

(pp.76) The notion of diffeomorphism plays the same role in the study of regular surfaces that the notion of isomorphism plays in the study of vector spaces or the notion of congruence(相似) plays in Euclidean geometry.

Another Approach to Define Surface

其实当然也有仿照前面曲线对曲面进行定义的方法：

参数化曲面（parameterized surface）指一个从 $\mathbb{R}^2$ 的一个开子集到 $\mathbb{R}^3$ 的光滑映射。像集称为迹（trace）。

若在任意点处该映射的微分是双射，则该参数化曲面正则。不满足的点称为奇点。

注意，这种定义下的”参数化正则曲面“仍然有可能出现自交点，而前面定义的”正则曲面“由于取的是邻域则不会自交。

Prop 对参数化正则曲面的参数空间中的任意点 $q$ 而言，总存在该点在参数空间中的一个邻域，使得这个邻域的像集是（最开始定义的）正则曲面。