实用微分几何3

此前已经从现代的角度介绍了微分几何的基本概念。以下将介绍古典微分几何——曲线曲面论。本篇包含其第一章：曲线论的部分内容。

参考：《Differential Geometry of Curves & Surfaces》，Do Carmo，2nd ed。这本书写得相当简明易懂又不过分繁复，非常推荐。

注意：本书中的”可微“都指”光滑（任意阶可微）“

parameterized differentiale curve

指一个从开区间（一维开集，也可以是整个$\mathbb{R}$）到$\mathbb{R}^3$的光滑映射。

trace

指曲线的像集。

（注意，curve指映射，trace指像集（一个$\mathbb{R}$的子集，是人们通常所说的曲线）。像集相同时trace相同，但curve未必相同）

tangent vector

对参数化光滑曲线而言，其切向量就是三个分量各自求导组成的三维矢量。

tangent line

当切向量非零向量时，其所在直线为切线。

singular point

当某点切线不存在时，称对应的参数$t$为（0阶）奇点。

regular

当参数化光滑曲线没有奇点，则称正则。

以下总假设可参数化、光滑、正则

arc length

弧长是沿着参数$t$对各点切向量的模长进行积分。

弧长参数

当参数值和开区间下确界之差正好就是这段参数的弧长时，称这个参数是弧长参数。

弧长参数下切向量模恒为1

curvature

弧长参数下，曲线的二阶导矢量的模称为曲率。

由于弧长参数下，切向量模恒为1，因此此时的二阶导能反映曲线方向变化（即蜷曲）的程度

显然，二阶导和曲线定向无关（负号会被消去），于是曲率也和定向无关

normal vector

（弧长参数下，以下略）归一化的二阶导矢量就是法向量。法向量乘上曲率就是二阶导矢量。

与切向量的正交性可以通过对切向量模恒为1的式子取微分得到。

在曲率为0的地方，法向量不可定义。这种点称为一阶奇点。曲率为0的部分就是局部和直线相似的部分。

osculating plane

某点处的切向量和法向量确定的平面称为此点的密切平面。

一阶奇点处同样无法定义密切平面。

binormal vector

切向量和法向量的叉积$T\times N$称为副法向量。副法向量和密切平面正交。

由于是两个单位向量之外积，因此副法向量模也是1。

重定向后切向量变向，因此副法向量也和定向有关

对副法向量内积为1式进行微分，可知副法向量和其自身的导向量正交

对副法向量定义式微分，可知副法向量的导向量和切向量也正交

因此，副法向量的导向量和法向量平行

torsion

副法向量的导向量和法向量之间差的一个系数称为挠率（有些地方使用相反数作为定义）

可见挠率可正可负可0，而曲率恒正

显然，在0、1阶奇点处均无法定义挠率

当trace在同一个平面中时，由于副法向量不变，则挠率为0

挠率和定向无关

Frenet trihedron

切向量、法向量、副法向量组成Frenet标架（约等于坐标系）。

实用：在Frenet标价下对法向量导数（与法向量垂直）进行分解，可以立即得到曲率和挠率的负值。这可以通过$n=b\times t$证明。

Frenet Formulas

$\begin{aligned} t^{\prime} &=k n \\ n^{\prime} &=-k t-\tau b \\ b^{\prime} &=\tau n \end{aligned}$

other 2 planes

rectifying plane（从切面）

法向量的垂面，或由切向量和副法向量确定的平面。

normal plane（法面）

切向量的垂面，或由法向量和副法向量确定的平面

总结：3维曲线可以看成直线经过弯曲（曲率）和扭曲（挠率）得到的东西

Fundamental Thm of Local Theory of Curves

具有相同弧长参数、曲率、挠率的所有正则曲线之间至多只相差一个刚体运动（rigid motion）证略