实用微分几何2

微分流形、坐标系（图）、图册（微分结构）、r阶连续、函数（标量场）、联通、弧连通

开覆盖（Open Cover）

若拓扑空间的基集（及被定义了拓扑结构的原来的集合）能等于它的一组开子集的并，则这组开子集称为拓扑空间的一个开覆盖。

微分流形（differential manifold）

若拓扑空间$(X,\mathscr{T})$存在一个开覆盖，当

1. 开覆盖中每一个开子集都和（某维的）欧氏空间中的某个（由自然拓扑定义的）开集同胚。（将开覆盖中开子集$O_{\alpha}$对应的双射记为$f_{\alpha}:X\rightarrow V_{\alpha} \in \mathbb{R}^n$）

2. 开覆盖中的两个开子集$O_{\alpha},O_{\beta}$有非空交集时，（定义于欧氏空间之间）的复合映射$f_{\beta}\circ f_{\alpha}^{-1}$光滑。（即：任意两个开子集之间都是相容的（Compatible））

则称该拓扑空间为微分流形。

微分流形在每个局部都和欧氏空间相似。

微分流形的维数

定义中欧氏空间的维数，就是微分流形的维数。

坐标

在欧氏空间中的每一点，我们总是自然地会有一个坐标。但在一般的拓扑空间的基集中没有坐标的定义。

对微分流形中的一点$p$，我们可以按以下方式定义坐标：

1. 找到一个包含$p$的开子集，且这个开子集有一个到$\mathbb{R}^n$某开集的双射$f$。根据微分流形的定义，这样的开子集必然存在。
2. $f(p)\in\mathbb{R}^n$的自然坐标就称为$p$在$f$下的坐标。

因此，不同的映射可以导出不同的坐标，但根据微分流形的定义，这些坐标之间的坐标变换是光滑的（当然这个坐标变换定义在开子集的交集上）

坐标系/图（Chart）

对微分流形的一个符合定义的开覆盖而言，其某个开子集$O_\alpha$与对应的双射$f_{\alpha}$组成的二元组称为一个坐标系（或图）。

图册（Atlas）

将上述开覆盖所有开子集和对应双射组成的图的集合称为图册。

平凡流形（Trivial Manifold）

存在某个图册只有一个图的流形就是平凡流形。

微分结构

对同一个拓扑空间而言，有时可以将其定义为微分流形的开覆盖不止一个，因此不同的开覆盖所导出的不同图册为这个拓扑空间定义了不同的微分结构。

假如不同微分结构的各个图之间也相容，则可以将他们取并获得一个更大的微分结构。通常约定使用“最大”（略微微妙）的一个图册。

r阶连续

在两个微分流形之间可以定义非0阶的“连续”映射。

微分流形之间的某个映射$f$在某点$p$是r阶连续，是说在$p$在某图下的坐标和$f(p)$在某图下的坐标之间的函数关系是r阶连续的。

由于图册中的图相容，则上述“某图”选哪一个都没关系（当然，要求$p$或$f(p)$得在对应的开子集中）。

微分同胚（Diffeomorphism）

当两个微分流形之间存在光滑双射时，称二者互为微分同胚。

函数（Function）（标量场（Scalar Field））

微分流形到实数的映射。

注意：这个映射不变时，选择的图不同，则其显式的表达式也不同。因此函数可能有所歧义。

物理中常将这个映射本身称为绝对的，而将其选择的坐标系所导出的不同表达式称为相对的

联通（Connectivity）

拓扑空间是联通的，当既开又闭（开集的补集）的子集只有两个（空集、全集）

弧连通

（以往所说的更易于理解的概念）

空间中任意两点都可以用一条连续曲线相连接。

前两则参考了梁灿彬教授的《微分几何入门与广义相对论》一书