实用微分几何1

拓扑空间，开子集，通常拓扑，连续，同胚

拓扑空间与开子集

对某一集合$X$而言，我们可以通过将其某些子集指定为“开”子集，其余子集指定为非开子集的方式对X的幂集进行一个划分。

这等价于在$X$的幂集中选择一个子集$\mathscr{T}$（将这个$X$幂集的子集中的$X$的子集定义为“开”子集，其余定义为“非开”子集）。这样就定义了一个拓扑$\mathscr{T}$。

当然，一个幂集的子集能成为拓扑还需要满足以下三个条件：

1. $X,\varnothing \in \mathscr{T}$
2. $\mathscr{T}$对有限个元素的交封闭
3. $\mathscr{T}$对任意多个元素的并封闭

对已定义某种拓扑的集合，将集合-拓扑二元组称为拓扑空间。

通常拓扑

对于度量空间可以定义开球。将以任意开球组合的并作为元素得到的拓扑为通常拓扑。这就是最常用的，在未声明情况下默认使用的拓扑。

连续

称拓扑空间之间的映射$f$连续，当值域的任意开集的原像（在定义域中）也总是开集。

同胚homeomorphism

两个拓扑空间之间存在可逆映射$f$，且该映射与其逆映射都连续，则这两个拓扑空间同胚。